利用位移互等定理改進的超靜定結構位移計算方法

doi：10.11835/j.issn.1005-2909.2013.03.017

收稿日期：2012-10-12

作者簡介：王達詮（1977-），男，重慶大學土木工程學院講師，碩士，主要從事結構力學研究，（E-mail）wwwdq@yeah.net。

摘要：結構力學中，超靜定結構的位移計算常使用單位荷載法，即利用超靜定的實際位移狀態與虛擬單位力狀態相配的傳統方法計算位移。該方法用于計算承受復雜荷載的超靜定結構時，計算工作量巨大。利用位移互等定理改進的單位荷載法——位移互等算法，將原結構承受的荷載作用于靜定的任一力法基本結構上所得的狀態，與作用于原結構的虛擬單位力狀態相配計算位移。由于荷載轉為作用在靜定基本結構上，有效降低了計算工作量。該方法在結構力學教學中有一定的實際應用價值，為師生提供了一種可選的新方法，豐富了結構力學的教學內容。

關鍵詞：互等定理；位移；單位荷載法；超靜定結構

中圖分類號：G642.0；TU311.3 文獻標志碼：A 文章編號：1005-2909（2013）03-0064-04 結構力學中，一般采用單位荷載法計算結構指定截面的位移，計算時需針對所求位移假設虛擬單位力狀態，從而利用虛力原理求得實際位移狀態中指定截面的位移。該方法亦可用于超靜定結構的位移計算，虛擬單位力既可以施加在原超靜定結構（后簡稱原結構）上，也可以施加在原結構的任一力法基本結構（后簡稱基本結構）上[1-2]。后一種方法由于只需解算一次原超靜定結構的內力，即實際位移狀態中原結構的內力，而被更廣泛地采用。例如，求解圖1（a）中的豎向位移ΔK，則虛擬單位力狀態既可選為圖1（b）所示狀態，也可選為圖1（c）所示狀態，而取后者，解算更簡單。

圖1 超靜定結構位移計算的傳統方法

一、位移互等算法的證明

利用圖1（a）中的結構加以說明。如圖2（a）所示，將圖1（a）中原結構的荷載作用于圖1（c）所示的基本結構上，記作狀態T；再取圖1（b）的虛擬單位力狀態（重繪于圖2（b）中，記作狀態S）與之匹配，來應用單位荷載法。現需證明：按這一方法求得的位移就是實際位移。

將單位化后的荷載F1（記作1）單獨作用于原結構上，如圖2（c）所示。此時，1引起的K截面豎向位移記作δS1。根據位移互等定理，該位移應等于狀態S中對應F1作用方向上的位移δ1S，即δ1S=δS1。

圖2 位移互等算法的證明

為求得δ1S，應假設虛擬單位力狀態。而求δ1S使用的廣義荷載正是1，于是可將其作用于圖1（c）所示的靜定基本結構上，如圖2（d）所示，形成虛擬單位力狀態與狀態S相配。至此，1已轉換作用于基本結構上，記此狀態為狀態1。

根據線彈性的物理條件，由F1單獨作用所引起的K截面的豎向位移ΔK1=F1δS1，再將位移互等定理代入，可得ΔK1=F1δ1S。推而廣之，對于單獨作用于原結構的任一荷載，均可將之單位化后，作用于基本結構上。若記相應狀態為狀態i（i=1，2，…），可得ΔKi=FiδSi=FiδiS。

再利用疊加法，可求得K截面豎向位移為

ΔK=∑iΔKi=∑iFiδSi=∑iFiδiS，（1）

式中，Fi表示單獨作用于原結構上的第i個荷載；ΔKi表示Fi單獨作用于原結構時，引起的K截面的豎向位移；δiS表示狀態S中施加于K處的單位荷載，所引起的原結構第i個荷載作用方向上的廣義位移。

δiS的計算使用前述傳統的單位荷載法，對于桿件結構，其計算公式為

δiS=∑∫iMSEI ds+∑∫NiFNSEA ds+

∑∫μQiFQSGA ds，（2）

式中，i、Ni和Qi分別代表狀態i中的彎矩、軸力和剪力；MS、FNS和FQS分別代表狀態S中的彎矩、軸力和剪力；EI、EA和GA分別代表各桿段的抗彎剛度、軸向剛度和剪切剛度；μ表示剪應力分布不均勻系數；ds代表在桿段上所取的微段。式中的積分符號代表對單根段積分，而求和符號則代表對結構中的全部桿段求和。

將式（b）代入式（a）并去單位化，再運用積分運算與求和運算的加法結合律，則式（a）變為

ΔK=∑iFiδiS=∑iFi∑∫iMSEI ds+

∑∫NiFNSEA ds+∑∫μQiFQSGA ds=

∑i∑∫MiMSEI ds+∑∫FNiFNSEA ds+

∑∫μFQiFQSGA ds=∑∫MSEI∑iMi ds+

∑∫FNSEA∑iFNids +∑∫μFQSGA∑iFQids， （3）

而由疊加法可知，式（3）中的∑iMi、∑iFNi和∑iFQi正是狀態T的內力。

式（1）表明了該方法求得的位移與傳統方法相等，而式（3）的得出證明了利用狀態T和狀態S相配就可求得所需的位移，至此證明完畢。

二、位移互等算法的計算步驟

第一步：選取原結構的任一力法基本結構，將原結構所受荷載全部作用于此靜定結構上，即獲得狀態T，并求出相應內力。

第二步：在原結構上施加與所求位移相應的廣義單位荷載，獲得虛擬狀態S，并求出相應內力。

第三步：利用單位荷載法的計算公式，求出所需位移。

三、算例

如圖3（a）所示剛架，其柱BA承受半跨均布荷載q的作用，求該柱正中截面D的水平位移ΔDH。

圖3 算例

此例為等截面直桿構成的剛架，可不計軸向變形和剪切變形對位移的貢獻。位移計算時，可采用圖乘法。下面分別用傳統方法和位移互等算法進行比對計算，驗證位移互等算法的正確性。

（一）傳統方法

第一步：求實際狀態內力。

利用超靜定結構解法（如力法、位移法等），求出原結構在荷載作用下的最終彎矩圖，如圖3（b）所示。

第二步：確定虛擬狀態，并求內力。

選取原結構的任一力法基本結構，在其上施加與所求位移相應的單位力FP=1，并求得彎矩圖，如圖3（c）所示。

第三步：利用圖乘法計算ΔDH。

ΔDH=1EI12·l2·l23·43-13·44+

23·48·l12·l2+

12·l2·l23·43-13·62ql2384=

27ql4768EI（→）

（二）位移互等算法

第一步：確定狀態T。選取原結構的任一力法基本結構，將所有荷載作用于此結構上并作出彎矩圖，如圖3（d）所示。

第二步：確定虛擬狀態S。在原結構上施加與所求位移相應的單位力FP=1，并求得彎矩圖，如圖3（e）所示。

第三步：利用圖乘法計算ΔDH。

ΔDH=1EI23·ql28·l·129l32-l8+

12·ql22·l23·5l16-13·9l32=

27ql4768EI（→）

此例中，兩種方法的計算結果完全一致，驗證了位移互等算法的正確性。

四、位移互等算法的優勢

位移互等算法把對超靜定結構的內力求解置于虛擬狀態中，這使其相對于傳統方法具有以下特點。

第一，如果原結構承受復雜荷載作用，采用傳統方法，需求解復雜荷載作用下，該超靜定結構的內力，這將帶來繁重的工作量；而采用位移互等算法，一方面內力求解變成了簡單的靜定問題，另一方面還可以通過運用力法基本結構的選取技巧，進一步降低復雜荷載帶來的內力求解困難。

第二，用于位移求解所設的虛擬單位力狀態中，一般僅包含1個或1對廣義單位力，因此即便在此狀態中求解原超靜定結構，也不會導致工作量的過多增加。

綜上，鑒于實際荷載一般比虛加廣義單位力要復雜得多，因而利用位移互等算法，將超靜定結構的內力解算轉移至虛擬狀態中，就可以達到降低計算工作量的目的。

五、結語

利用位移互等定理改進的單位荷載法——位移互等算法，可將傳統方法中原結構最終內力的解算，轉化為荷載作用下靜定的力法基本結構的內力解算，并將超靜定內力解算轉移至虛擬狀態中。在教學中，位移互等算法可作為傳統方法的補充，豐富結構力學課堂教學內容。該方法還可有效減低受復雜荷載作用的超靜定結構位移計算的工作量，在實際運用中有著明顯意義。

參考文獻：

[1] 蕭允徽，張來儀.結構力學（Ⅰ）[M].1版.北京：機械工業出版社，2006.

[2] 李廉錕.結構力學上冊[M].1版.北京：高等教育出版社，2004：112-150.

[3] 龍馭球，包世華.結構力學教程（Ⅰ）[M].1版.武漢：高等教育出版社，2000：287-375.

An improved displacement calculation method of statically

indeterminate structures based on displacement reciprocal theorem

WANG Daquan， WEN Guozhi

（College of Civil Engineering， Chongqing University， Chongqing 400045， P. R. China）

Abstract： The unit-load method is often used to calculate the displacement of statically indeterminate structure in structural mechanics to find the actual displacement state and the virtual unit-load state and combine both states to solve displacement. However， the enormous workload will arise when this method is used to solve the statically indeterminate structures bearing complex loads. A new unit-load method， which was improved by the displacement reciprocal theorem， put the loads acted on the original structure to any one of its force-method primary structures， and combined this state with the virtual state whose unit-load acted on the original structure to solve displacement. Since the primary structure was statically determined， the workload would be efficiently decreased. Thus， the improved method is valuable in practical application of structural mechanics teaching and provides a new option for teachers and students as an addition of the course contents.

Keywords： reciprocal theorem； displacement； unit-load method； statically indeterminate structure

（編輯 梁遠華）