幾個重要的基本概念的正反敘述及其應用

【摘 要】本文給出了數列的極限、函數的極限、函數在區間上的一致連續性、不一致連續性等概念的正反敘述、應用及其重要判別辦法，使我們能夠從正反方面來更加深刻理解這些概念的內涵。

【關鍵詞】極限；一致連續性；收斂；一致收斂

在微積分學中經常會遇到一些重要概念的定義，如極限的定義，函數在一個集合上的一致連續性的定義，級數或廣義積分的一致連續性定義等。為更好的掌握這些概念以及更好的利用這些概念取得到一些新的結果，新的命題，往往需要從反面來了解這些概念。

１．數列的極限

（1）數列{x■}以a為極限，并記作■x■=a，是指：任給?著>0，存在自然數N，使當n>N時，總有x■-a

若a=0，則稱數列{x■}為無窮小量。因此無窮小量不是一個數，而是一個以0為極限的數字數列。

首先我們指出下列幾種說法是錯誤的：

①當n越大時，x■-a越小，則■x■=a

事實上，取x■=-n，a=0，則n越大時，x■-a=-n越小，但顯然{-n}無極限。

②當n越大時， x■-a越來越向零靠攏，則■x■=a

事實上，取x■=2+■，a=1，則 x■-a=1+■，顯然，當n越大時， x■-a越來越向零靠攏，但 x■-a?叟1，因此{x■}不是以1為極限。

③若任給?著>0，存在自然數N，當n>N時，總有無窮多個x■滿足 x■-a

事實上，取x■=1， n是偶數■，n是奇數

則對任意的N，有無窮多個n=2m+1，m=1，2，···，使x■=x■=■

④任給N>0，存在?著>0，使得當n>N時，總有 x■-a

事實上，取x■= 1， n是偶數-1， n是奇數

顯然{x■}沒有極限，否則取?著=■，由式 x■-a

但當n為奇數時，有-1-?著

但(1)與(2)是矛盾的。

另一方面，取a=0，對任意的自然數N，取?著=2，總有 x■-a=±1-0<2，故{x■}滿足④中要求，但{x■}沒有極限。

我們指出下列幾個命題是成立的。

命題1 （唯一性）若{x■}有極限，則必唯一。

命題2 無窮多個無窮小量之和不一定為無窮小量。

事實上，取■，■，■，···

他們每一個都是無窮小量，但我們知道

■■+■+···+■=1

因此不是無窮小量。

（2）數列{x■}不以a為極限。

要敘述一個命題的逆命題，必須遵循兩條原則：

①逆命題與原命題不能同時成立；

②若原命題不成立，則逆命題一定成立，反之亦然（兩者必居其一）。

用集合論的術語來描寫，設原命題為A，則逆命題為■，因此滿足：①A∩■＝?椎，②A∩■＝?贅

因此用下面的說法來定義{x■}不是無窮小量，全部都是錯誤的。

①任給?著>0，存在自然數N，使得當n>N時，永遠有 x■>?著。

取例：-■，■，-■，■···

它既不是無窮小量，也不是1.因為取?著=1即是。

我們知道，這實際上是無窮大量的定義。

②任給?著>0，找不到自然數N，使得當n>N時，總有 x■

取例：1，2，1，2，…

取?著=3，就不滿足2，顯然它不是無窮小量。

③任給?著>0，存在自然數N，使得當n>N時，總有 x■-b

取例：0，b，0，b··

取?著=■，顯然不滿足3，但它也不是無窮小量。

④任給N>0，可以找到?著>0及n>N使 x■>?著。

取x■=■，因此■x■=0，但也滿足4，因為任給N>0，取?著=■，則取n=N+1，就滿足 x■=■?叟?著=■，這是屬于A∪B≠?贅的情況。

⑤存在?著>0以及N>0使當n>N時，總有 x■?叟?著。

顯然對1，1，2，■，3，■···具有上述性質的?著>0找不到，但它也不是無窮小量，這是屬于A∪B≠?贅的情況。

⑥存在?著>0，使對任何N，當n>N時，總有 x■?叟?著

這是上述5的特殊情況，上例已經說明問題。

為了正確的敘述{x■}不是無窮小量的逆命題，我們在敘述一下正命題，任給?著>0，存在N，當n>N時，總有 x■

①存在一個?著>0，使得具有上述性質的N不存在；

②存在一個?著>0，使得對任意的N，不能對所有的n，當n>N時，能滿足 x■

③存在一個?著>0，使得對任意的N，有n>N，使 x■?叟?著；

這才是正確的逆命題，當然3還有一個等價的敘述：

④存在一個?著>0，及自然數子序列{n■}，n■→∞，使 x■?叟?著

事實上，由4推出3是顯然的，只要注意到n■→∞即可，現證明由3推出4，事實上，先取N=1，有n=n■使 x■?叟?著，這樣一直進行下去，可用數學歸納法來證明。

對于數列{x■}不以a為極限的敘述就顯然的了：存在?著>0，使得對任意的N ，存在n>N有x■-a?叟?著>0。

（3）數列{x■}有極限的柯西準則為：任給?著>0，存在自然數N，使當n>N時，對任意的自然數m，總有x■-x■

（4）數列{x■}沒有極限的柯西準則為：存在?著>0，使對任意的N， 存在n>N，及自然數m，使x■-x■?叟?著>0。

這里的關鍵是將原命題中所有的“任給”換為“存在”，將所有的“存在”換為“任給”后就可以得到逆命題。

2.函數的極限

（1）設函數f(x)定義在0

是指：任給?著>0，存在數?啄>0，使當0

（2）函數f(x)當x→x■時不以A為極限：存在?著>0，對任給s>0(s>R），存在x■，00----（6）

命題4 要使函數f(x)當x→x■時，不以A為極限的充要條件是：存在?著>0，使得存在一串x■→x■(x■≠x■)滿足f(x■)-A ?叟?著>0

命題5 要使函數f(x)當x→x■時，以A為極限的充要條件是：對任意的{x■}，x■→x■(x■≠x■)，有f(x■)→A。

（3）函數f(x)當x→x■時，有根據的哥西準則為：任給?著>0，存在s>0，使當0

這個準則在很多理論問題的證明中式很有用的，因此由此可以知道 ■f(x)存在。

例如設函數f(x)定義在[a，+∞)，且在任意有界區間[a，u]上可積，若■■f(x)dx存在，則說明積分■f(x)dx收斂，其值就是上面的極限值，否則積分發散。故無積分■f(x)dx收斂與否，取決于函數F（u)=■f(x)dx在u→+∞時是否存在極限。因此根據哥西準則，要使積分■f(x)dx收斂的充要條件是：任給?著>0，存在B?叟a，使當u■>B，u■>B時，都有：

■f(x)dx-■f(x)dx=■f(x)dx

同樣，若■f(x)dx收斂，則說明積分■f(x)dx絕對收斂，因此根據哥西準則，要使■f(x)dx是絕對收斂的充要條件：任給?著>0，存在B■?叟a，使當u■>B■，u■>B■時都有■f(x)dx

命題6 設函數f(x)定義在[a，+∞)，且在任何有限區間上可積，則

①設存在數B，使當x?叟B時，有 f(x)?燮?漬(x)，則由■?漬(x)dx收斂，可以推出■f(x)dx也收斂，若 f(x)?叟?漬(x)>0(x>B)，則從■?漬(x)dx發散，可以推出■f(x)dx也發散。

②若■■=l

則0?燮l<+∞當時，由■?漬(x)dx收斂，可推出■f(x)dx也收斂。

由0

進一步，還有更細的判別法

命題7 （狄利克雷Dirichlet判別法）若F（u)=■f(x)dx在[a，+∞)上有界，g(x)在[a，+∞)上當x→+∞時單調趨于0，則■f(x)g(x)dx收斂。

證:由條件設■f(x)dx?燮M，u∈[a，+∞)，任給?著>0，由于■g(x)=0，由此存在G?叟a，當x>G時，有 g(x)<■。

又因為g(x)為單調函數，利用積分第二中值定理，對任何u■>u■>G，存在?孜∈[u■，u■]使■f(x)g(x)dx=g(u1)■f(x)dx+g(u■)■f(x)dx，于是有，

■f(x)g(x)dx?燮g(u1)■f(x)dx+g(u■)■f(x)dx=

g(u1)■f(x)dx-■f(x)dx+g(u■)■f(x)dx-■f(x)dx<■·2m+■·2m=?著，

根據哥西準則■f(x)g(x)dx收斂。

由此看出，若我們不需要具體計算出積分得值，而只要判斷一個積分是否收斂或絕對收斂，哥西準則是一個很強有力的辦法。

（4）函數f(x)當x→x■時沒有極限的哥西準則：存在?著>0，使對任意的s>0，存在x■與x■，00。

命題8 要使f(x)當x→x■時沒有極限的充要條件是：存在?著>0，及兩個序列{xn}及{xn1}， x■→x■，xn1→x■(x■≠x■，xn1≠x■)，使f(x■)-f(xn1) ?叟?著>0。

3.函數在區間上的一直連續

一直連續是一個很重要的概念，在微積分學以及其它學科中常常是很有用的。

（1）我們說，函數f(x)在區間E（可以是閉區間或開區間或半開半閉或無窮區間）上一致連續，即任給?著>0，s>0，使當x■，x■∈E且x■-x■

若函數f(x)在有界閉區間[a，b]上連續，則他必在[a，b]上一致連續。

一直連續與連續的差別在于：當固定一點x=x■，在定義其連續時，上述s是依賴于點x=x■的選擇，因此記作?啄(x■)，一般地說，當f(x)在x=x■附近較為陡峭時，?啄(x■)較小；但當f(x)在x=x■附近較為平滑時，?啄(x■)較大，全體?啄(x■)，x■∈E可能沒有正的下界，一致連續時對整體而言，實際上就要求全體?啄(x■)有一個正下界，記作s，因此這里的s就與點的位置無關了。

在研究函數的整體性質時，一致連續顯得特別有用，例如在研究黎曼積分是否存在時，有下面的命題：

命題9 函數f在[a，b]上可積的充要條件是：任給?著>0，總存在相應的某一分割T，使得■w■?駐x■

命題10 若函數f在[a，b]上連續，則f在[a，b]上可積。

證：由于f在[a，b]上連續，因此在[a，b]上一致連續，這就是說，任給?著>0，存在?啄>0，對[a，b]中任意兩點x'，x\"，只要x'-x\"

命題11 若f是區間[a，b]上只有有限個間斷點的有界函數，則f在[a，b]上可積。

下面我們舉例說明，如何判斷一個函數在區間上是一致連續的。

例1 從定義出發，證明f(x)=x■在[0，1]上一致連續。

證明：對任意的x■，x■∈[0，1]，我們有

f(x■)-f(x■)=x■-x■x■■+x■■x■+x■■x■■+x■x■■+x■■?燮5x■-x■

因此任給?著>0，取?啄=■，當x■，x■∈[0，1]且x■-x■

（2）函數f(x)在區間E上不一致連續

從（1）中可看出，此時必須存在?著>0，使得對任意?啄>0，存在兩點x■，x■∈E，x■-x■0。

命題12 要使函數f(x)在區間E上不一致連續的充要條件是：存在?啄>0，存在兩串數列x■' ，x■\"，使當■(x■'-x■\")=0，但f(x■')-f(x■\")?叟?著>0。

例2 證明函數f(x)=x■在[0，+∞)上不一致連續。

證明：

取x■'=n，x■\"=n+■顯然有■(x■'-x■\")=■■=0，

但f(x■')-f(x■\")=n■-n+■■=3n+■+■?叟3=?著。■

【參考文獻】

［１］邵品琮編著.數學分析縱橫談.北京大學出版社，1991，5.

［２］華東師范數學系編著.數學分析.高等教育出版社，2003，6.

［３］郝涌，李學志等.數學分析考研精編.信陽師范學院數學系.