論數(shù)學模型思想與初中方程教學的關系

【摘 要】《義務教育數(shù)學課程標準》（修訂稿）在“雙基”的基礎上，進一步明確提出了基本思想和基本活動經(jīng)驗的要求，把“雙基”擴展為“四基”。模型思想是新增核心概念之一。方程是初中數(shù)學學習的重點和難點，蘊含著豐富的數(shù)學思想方法。本文主要圍繞數(shù)學模型思想和方程中所蘊含的模型思想進行分析，并在此基礎上探討如何將模型思想融入到初中方程教學中。

【關鍵詞】模型思想 初中方程 方程教學

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674－4810（2012）14－0055－02

為了適應時代發(fā)展對人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學課程要特別注重發(fā)展學生的應用意識和創(chuàng)新意識。模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與現(xiàn)實生活聯(lián)系的基本途徑，有助于激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生的應用意識和創(chuàng)新能力。方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的有效模型，通過初中方程教學可以培養(yǎng)學生建立模型的能力和模型思想的形成，有利于培養(yǎng)學生用數(shù)學眼光看問題。

一 模型思想與數(shù)學建模

1．原型、模型與數(shù)學模型

原型是現(xiàn)實生活中存在的實際事物，或者是人們所從事或研究的實際對象。模型則是人們?yōu)榱四撤N特定的目的根據(jù)原型，按照一定的比例、形態(tài)或其他特征而構建出來的原型的模擬物。模型和原型有著密切的聯(lián)系，但也有本質的區(qū)別。

數(shù)學模型是利用數(shù)學語言模擬現(xiàn)實的模型，即把某種事物系統(tǒng)的主要特征、主要關系抽象出來，用數(shù)學語言概括地或近似地表示出來的一種數(shù)學結構。數(shù)學模型利用數(shù)字、字母和其他數(shù)學符號來描述事物間的數(shù)量關系和空間形式，具有抽象性、準確性、演繹性和預測性等特征和優(yōu)點。

2．模型思想與數(shù)學建模

模型思想是一種基本的數(shù)學思想，是《義務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）（以下簡稱《標準》）里明確提出的十個核心概念中的唯一一個以“思想”指稱的概念。模型思想的建立使得學生更容易理解數(shù)學與實際生活之間的聯(lián)系。建立和求解模型的過程，包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結果并討論結果的意義。以上這些知識的學習有助于學生形成模型思想，激發(fā)學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)應用數(shù)學的意識和能力。

將現(xiàn)實生活中的問題抽象為數(shù)學問題，然后再把數(shù)學問題及其解答合理地返回到現(xiàn)實中去檢驗的過程，就是數(shù)學建模。利用數(shù)學模型解決問題的方法稱為數(shù)學模型方法，簡稱MM方法。通過數(shù)學建模過程能使學生在多方面都得到培養(yǎng)，而不只是知識、技能，更有思想、方法和經(jīng)驗的積累，其情感態(tài)度也會得到一定的培養(yǎng)。

二 模型思想融入初中方程教學的必要性

1．初中方程的地位及主要內(nèi)容

初中“數(shù)與代數(shù)”部分的主要內(nèi)容有數(shù)、式、方程、函數(shù)等，其中方程具有承前啟后的作用，前承數(shù)與式的學習，后為不等式和函數(shù)的學習做好鋪墊，方程是初中數(shù)學學習的重點和難點，也是廣大一線教師關注的焦點。由《標準》可知，初中方程教學的內(nèi)容主要包括一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程和可化為一元一次方程的分式方程等。每一類方程（組）的內(nèi)容大致又分為方程（組）的概念、各類方程的解法及方程與實際問題等。

2．模型思想融入方程教學的必要性

《標準》強調，數(shù)學課堂教學應激發(fā)學生的學習興趣，調動學生的積極性，引發(fā)學生進行數(shù)學思考，鼓勵學生的創(chuàng)造性思維。方程教學是初中數(shù)學的核心教學內(nèi)容之一，其蘊含著典型的模型思想，是進行模型思想滲透和建模教學的良好素材。若能把模型思想和數(shù)學建模活動融入到方程教學中，不僅能夠提高學生學習的積極性和主動性，激發(fā)學生的學習興趣，而且能夠培養(yǎng)學生的應用意識和提高學生的創(chuàng)新能力。

總之，數(shù)學建模活動能夠提高學生的歸納、抽象、符號表示、空間想象、運算求解、演繹證明等諸多方面的能力，有助于培養(yǎng)學生自主學習新知識和以數(shù)學的思維發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力，提高數(shù)學表達和交流的能力等，有利于學生養(yǎng)成良好的學習習慣，增強學好數(shù)學的信心。

三 將模型思想融入方程教學的方法

模型思想作為一種基本思想，要想使學生真正領悟，需要經(jīng)歷一個長期的過程。在這一過程中，學生從簡單到復雜，從具體到抽象，逐步積累經(jīng)驗掌握建模方法，漸漸地形成了運用模型去進行數(shù)學思維的習慣。在初中方程教學中，教師要根據(jù)學生的年齡特征、認知水平和方程教學的具體內(nèi)容，有效地滲透模型思想。

1．創(chuàng)設問題情境，讓學生在經(jīng)歷模型化的過程中抽象出有關方程的概念

數(shù)學模型是為了實現(xiàn)一定的目的，舍棄現(xiàn)實原型中的非本質屬性，弱化次要因素，將本質要素形式化，從而對原型做出簡化的刻畫。數(shù)學概念大多是由實際問題抽象出來的，因而，在有關方程概念的教學中可以創(chuàng)設具體的問題情境，指導學生從具體的問題中總結概括出方程的有關概念，初步感悟方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效的數(shù)學模型，領會模型思想的內(nèi)涵。

2．通過具體問題情境讓學生探究列方程和解方程，體會方程是解決實際問題的有效的數(shù)學模型

方程是表示平衡關系的數(shù)學模型。通過設置具體的問題情境，引導學生理解問題中的等量關系，探究問題解決的方法，列出有關方程，在此基礎上摸索解方程的方法。列方程、解方程和方程應用不是截然割裂的，應是在解決同一問題時的不同步驟。在探索方程解法的教學過程中，要避免過多地進行單純的形式化的機械訓練，不能為解方程而純粹地訓練解方程的方法和技巧。教師要根據(jù)學生的認知發(fā)展水平，適時點撥、指導學生列方程和理解方程的解法，進一步體會方程是解決實際問題的有效模型，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識和能力。

3．通過實際應用建立方程模型解決問題，加深對模型思想的理解

數(shù)學源于生活，人們學習數(shù)學的目的之一就是用數(shù)學知識解決現(xiàn)實問題。弗賴登塔爾曾說過：“數(shù)學必須源于現(xiàn)實、寓于現(xiàn)實、用于現(xiàn)實。”數(shù)學的價值主要在于它的應用。數(shù)學模型是應用數(shù)學解決問題的有效途徑之一，構造方程模型解決問題有助于加深學生對方程的理解，有利于培養(yǎng)學生的動手能力、創(chuàng)新能力和應用意識等。

教師根據(jù)學生的認知發(fā)展水平，選擇適當?shù)恼n題讓學生進行建模活動，這是培養(yǎng)學生能力的有效途徑。在此基礎上與學生共同總結出數(shù)學建模的基本步驟：理解實際問題——化簡問題——建立數(shù)學模型——求解數(shù)學模型——檢驗數(shù)學模型的解。必要時，利用多媒體工具幫助學生進行數(shù)學建模，使學生了解一定的數(shù)學軟件（如SPSS、MATLAB、幾何畫板等）的基本原理和簡單運用，為培養(yǎng)學生利用計算機科學技術解決問題打下堅實的基礎。在這一系列教學活動中，教師要充分關注學生的主動參與度，適時地做出引導。

4．精選課外作業(yè)，恰當融入數(shù)學模型思想

課外作業(yè)的練習是幫助學生進一步理解、鞏固和消化課堂教學內(nèi)容必不可少的環(huán)節(jié)之一，主要目的在于培養(yǎng)學生運用所學知識和思想方法等進行自主分析問題和解決問題的能力。教師在布置課外作業(yè)時，要適量適度，既要有重點和難點知識的鞏固，又要有一定的拔高練習。條件允許的情況下也可以有目的地組織學生參加社會實踐活動。只有把所學的方程、模型等有關知識應用到實踐中解決實際問題，才能使學生更好地理解、深化、鞏固和提高所學的知識。模型思想的滲透是多方位的，模型思想的建立是一個循序漸進的長期的過程。

法國學者馮?勞厄曾說過：“教育無非是一切已學過的東西都忘掉時所剩下的東西。”數(shù)學知識遺忘了，剩下的就是數(shù)學思想和方法。那么，有關方程的具體知識遺忘了，剩下的就是方程模型思想和模型方法，即用方程的觀點分析問題。

參考文獻

［1］顧泠沅.數(shù)學思想方法［M］.北京：中央廣播電視大學出版社，2004

〔責任編輯：李錦雯〕