由兩道競賽題淺析函數單調性的巧用

【摘 要】單調性是函數最重要的性質之一，文章通過兩道競賽題，為我們展示了試題中函數單調性的巧用，并對其進行了進一步的推廣、研究。

【關鍵詞】函數 單調性 競賽題

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674－4810（2012）09－0137－01

例1，x、y為實數，且滿足，則

x＋y＝ 。（高中聯賽，1997）

解：原方程組變形為。

根據方程組的結構特征，我們可以構造函數f（t）＝t3＋1997t，則由方程組得，f（x－1）＝f（1－y）。

∵f（t）′＝3t2＋1997＞0

∴f（t）在R上單調遞增，則由函數的單調性質得：

x－1＝1－y，即x＋y＝2。

例2，如果cos5θ－sin5θ＜7（sin3θ－cos3θ），θ∈［0，2π），則θ的取值范圍為 。（全國高中數學聯賽，2011）

解：sin3θ－cos3θ＞（cos5θ－sin5θ）

sin3θ＋sin5θ＞cos5θ＋cos3θ

設t＝sinθ，t∈R。

令f（t）＝t3＋t5；

∵f（t）′＞0，∴f（t）在t∈R時單調遞增。

即f（sinθ）＞f（cosθ）；

∴sinθ＞cosθ；

∴，)。

以上兩道例題，我們將原式進行適當變形，并根據其結構特點，構造相應的函數，通過分析函數的單調性，利用單調函數的單值性特點，即可將其順利解答，該方法巧妙簡潔。

上述問題利用了函數的單調性，進而我們可以對以上兩例進一步擴展。

例1可推廣為：

若（n，m，k∈R＋且m≠n，h

∈R），則x＋y＝a＋b。

解：可將方程組變形為。

構造方程：f（t）＝t2n＋1＋kt2m＋1。

由方程組得：f（x－a）＝f（b－y）。

∵f（t）′＝（2n＋1）t2n＋k（2m＋1）t2m＞0；

∴f（t）在R上單調遞增。

故有：x－a＝b－y。

∴x＋y＝a＋b。

同理，例2可推廣為：

若cos（2n＋1）θ－sin（2n＋1）θ＜λ（sin（2m＋1）θ－cos（2m＋1）θ），（m，n∈R＋且m≠n，λ∈R），則：

，

解：可將原式變形為：λsin（2m＋1）θ＋sin（2n＋1）θ＞cos（2n＋1）θ＋λcos（2m＋1）θ。

設t＝sinθ，t∈R。

f（t）＝t2n＋1＋λt2m＋1。

∵f ′（t）＝（2n＋1）t2n＋λ（2m＋1）t2m＞0。

∴f（t）為R上的增函數。

即：f（sinθ）＞f（cosθ）。

∴sinθ＞cosθ；

∴，。

由以上例題可以看出，通過構造函數，利用函數單調性解決問題，是反映題目本質特征的解法，有事半功倍之效。因此，在以后的學習中，我們不能就題論題，而要深入思考，揣摩命題人意圖，開闊數學思維，找到反映題目本質結構的解法，提高數學解題能力。

參考文獻

［1］陳傳理、張同軍.競賽數學教程［M］.北京：高等教育出版社，2010

［2］張梅、魏春強.一道競賽題的解法及其推廣研究［J］.考試周刊，2011（65）

［3］陳德燕.新專題教程高中數學集合與函數（第三版）（全新修訂）［M］.上海：華東師范大學出版社，2007

［4］傅榮強.新課標龍門專題：高中數學（函數）［M］.北京：龍門書局出版社，2008

〔責任編輯：高照〕