談數形結合思想在數學解題中的應用

【摘 要】數形結合思想是通過數、形間的對應與互助來解決數學問題的思想，數形結合思想不但廣泛地應用于數學解題中，而且滲透于學習新知識和運用知識解決問題的過程中。本文闡述了數形結合的概念，同時通過實例討論了數形結合思想在數學解題中的應用。

【關鍵詞】數學教學 數形結合 教學改革

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674－4810（2012）09－0132－02

隨著教學改革的不斷深入，針對數學教學中如何滲透數學思想一直是一個備受關注的話題。數學思想是分析、處理和解決數學問題的根本思想，是對數學規律的理解認識。掌握這些思想可以為學習數學課程打下良好的基礎。關于數學思想歸納起來大致有以下幾種：方程思想、分類思想、數形結合思想、整體思想、函數思想、化歸思想等。數形結合思想被廣泛應用于數學教學中，注重數形結合思想的培養是提高學生數學素質的一個重要途徑。“數”主要指實數、復數或代數對象及其關系，屬于數學抽象思維范疇，是人的左腦思維的產物。“形”主要是指幾何圖形，屬于形象思維的范疇，是人的右腦思維的產物。數形結合能使人充分運用左、右腦的思維功能，相互依存，彼此激發，全面、協調、深入地發展人的思維能力。數形結合思想就是把問題的數量關系和空間圖形結合起來考查的思想方法。根據解決問題的需要，可以把數量關系的問題轉化為圖形的性質和特征去研究，或者把圖形的性質問題轉化為數量關系的問題去研究。

一 數形結合思想在導數中的應用

近年的高考試卷中，每年都有導數題目，并且必有考查利用導數研究函數的極值、單調區間、實際應用等的題目，學生在學習和解答時，大多十分茫然，不知從何下手。在教學過程中，解決此類問題是將抽象化為直觀，時刻給學生滲透和灌輸數形結合思想會取得很好的效果。

例1，設f（x）在（－∞，＋∞）內連續，f ′（x）的圖形如圖1，則f（x）有（ ）。

A、一個極小值點和兩個極大值點；

B、兩個極小值點和一個極大值點；

C、兩個極小值點和兩個極大值點；

D、三個極小值點和一個極大值點。

分析：該題中要判斷的是f（x）取極大值和極小值的情況，所給條件是f ′（x）的圖形，這就需要利用數形結合思想去分析、推理、判斷。根據f ′（x）的圖像在x軸的上方或下方，確定f ′（x）在各個給定點左右兩側是取正值或取負值，進而確定f ′（x）的符號，最后確定給定的點是極大值或極小值。

解：因為f（x）在（－∞，＋∞）內連續，所以可以想象f（x）的圖形是一條連續曲線。根據f ′（x）的圖形，能確定f ′（x1）﹦f ′（x2）﹦f ′（x3）﹦0，即x1、x2、x3是f（x）的駐點，x﹦0是不可導點。這一步是由形確定數值，充分體現出數形結合的思想。再根據函數取極值的必要條件知x1，x2，x3和x﹦0可能是f（x）的極值點。利用f ′（x）的圖形和x軸上、下方的位置關系，由形確定數值，可以看出：

當x＜x1時，f ′（x）＞0；當x1＜x＜x2時，f ′（x）＜0；當x2＜x＜0時，f ′（x）＞0；當0＜x＜x3時，f ′（x）＜0；當x3＜x時，f ′（x）＞0。

因此，x1和0是f（x）的極大值點，x2和x3是f（x）的極小值點，即答案C正確。

二 數形結合思想在概率教學中的應用

學習概率首先要學習事件間的關系（運算）等預備知識，而事件間的關系（運算）也很抽象，學生較難理解、掌握。這時運用數形結合思想借助圖形就可以直觀地看出這些關系（運算），從而較容易理解掌握。

例2，互斥事件與互逆事件的區別與關系：互斥事件的定義給出后學生理解不深，基本停留在字面上，如果運用數形結合思想借助圖2講解就很容易。從圖2可直觀地看出事件A與B沒有任何交叉的部分，從而使學生理解到它們是不能同時發生的，這種情況就是事件間的互斥關系。而互逆事件可借助圖3觀察理解，從圖3中可直觀看到A與不僅沒有任何交叉部分（即互斥），而且它們的和是基本事件Ω即A＋＝Ω，從而理解事件間的互逆關系。并可認識到互逆一定互斥；互斥卻不一定互逆。

例3，完備事件組：完備事件組的定義給出后，90%以上的學生這時并不清楚什么是完備事件組，對此，運用數形結合思想借助圖4講解后，80%的學生就能明白完備事件組必須具備：（1）基本事件集Ω中的多個事件中每兩個都沒有交叉部分（即兩兩互斥）；（2）多個事件的和是基本事件集Ω，即A1＋A2＋…＋An＝Ω。滿足上述兩個條件的事件A1，A2，…，An就構成一個完備事件組，這樣把這個比較抽象復雜、難以理解的問題圖形化、直觀化、簡單化了。

三 數形結合思想在解高考創新題中的應用

隨著新課程改革的逐步深入，創新題也與時俱進。創新題是指以考生已有的知識為基礎，并給出一定容量的新的定義信息，通過閱讀獲取有關信息，捕捉解題資料，發現問題的規律，找出解題方法，并應用于新問題解答的一類題目。

例4，（2009年高考，寧夏、海南卷）用min｛a，b，c｝表示a，b，c三者中的最小值。設f（x）＝min｛2x，x＋2，10－x｝（x≥0），則f（x）的最大值為（ ）。

A、4 B、5 C、6 D、7

解此創新題是以高等數學中的取小函數為背景命制的試題，解題的關鍵是正確理解“min｛｝”的含義。對此題只需在同一坐標系內畫出函數y＝2x，y＝x＋2，y＝10－x的圖像見圖5，即可知f（x）的最大值在y＝x＋2與y＝10－x的交點處取得，從而可求得當x＝4時f（x）取最大值6。故選C。

從以上例題我們可以看到數形結合的思想就是把問題的數量關系和空間形式結合起來考查的思想，根據解決問題的需要，可以把數量關系的問題轉化為圖形的性質問題去討論，或者把圖形的性質問題轉化為數量關系的問題來研究，簡言之“數形相互取長補短”。在解決有關問題時，數形結合思想方法表現出的思路上的靈活、過程的簡便、方法上的多樣化一目了然。該方法還可以發揮學生的想象力，將原有認識結構進一步提高，是深化思維的一種有效訓練，使學生既學到了知識，又提高了能力，同時也增添了學習興趣，使學習變得輕松愉快。它為我們提供了多條解決問題的通道，使靈活性、創造性的思維品質在其中得到了更大限度的發揮。

參考文獻

［1］袁小明.數學思想史導論［M］.南寧：廣西教育出版社，1991

［2］王林全、林國泰.中學數學思想與方法［M］.濟南：濟南大學出版社，2000

［3］韋莉、張兵.2009年高考創新題的欣賞與品味［J］.數學教學研究，2009（11）：42～45

〔責任編輯：李錦雯〕