關(guān)于函數(shù)凸性定義的等價(jià)性及其判定的討論

摘 要：本文深入的討論了凸函數(shù)的幾種不同定義的等價(jià)性，判定定理及凸函數(shù)的應(yīng)用。首先給出了凸函數(shù)的六個(gè)等價(jià)定義，然后給出三個(gè)判定凸函數(shù)的定理及其證明，最后舉例說明凸函數(shù)的相關(guān)結(jié)論在不等式的證明、驗(yàn)證級(jí)數(shù)的收斂性等方面的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：凸函數(shù)；等價(jià)定義；判定定理

作者簡(jiǎn)介：何意，1982年3月出生，籍貫：四川遂寧，現(xiàn)為四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院教師。

[中圖分類號(hào)]：O174.13 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]：A

[文章編號(hào)]：1002-2139(2012)-14-0046-02

1、引言

凸函數(shù)可分上凸函數(shù)和下凸函數(shù)。本文主要討論下凸函數(shù)的等價(jià)定義、判定定理，并簡(jiǎn)單介紹凸函數(shù)的運(yùn)算及應(yīng)用。由于上、下凸函數(shù)在定義的基本內(nèi)容上都是平行的，那么他們?cè)诙ɡ淼膬?nèi)容也是平行的。鑒于文章篇幅有限，對(duì)上凸函數(shù)就不討論其證明等方面的內(nèi)容。

關(guān)于下凸函數(shù)通常做如下定義：如果在 區(qū)間內(nèi)的函數(shù)滿足，

，

那么稱為內(nèi)的下凸函數(shù)。

下凸函數(shù)的定義有多種不同的方式，而這些不同的定義是否完全等價(jià)成為人們需要弄清的問題。我們發(fā)現(xiàn)下凸函數(shù)的六種不同定義是完全等價(jià)的。同時(shí)，我們還找到了三個(gè)可以用來判定函數(shù)凸性的判定定理。本文通過對(duì)這些定義和定理詳細(xì)的討論之后就可以很清晰的判斷一個(gè)函數(shù)是否為凸函數(shù)。最后運(yùn)用凸函數(shù)的相關(guān)結(jié)論在不等式的證明、驗(yàn)證級(jí)數(shù)的收斂性這兩方面舉例說明其應(yīng)用。

2、凸函數(shù)的等價(jià)定義和判定定理

2.1、下凸函數(shù)的六個(gè)等價(jià)定義

下面我們首先討論應(yīng)用最廣的下凸函數(shù)三個(gè)最基本的定義，它們是相互等價(jià)的。其本質(zhì)都是：連接函數(shù)圖形上任意兩點(diǎn)的線段，處處都不在函數(shù)圖形的下方。

定義2.1 假設(shè)在 區(qū)間上的函數(shù)滿足：

，

那么稱為上的下凸函數(shù)。

定義2.2 假設(shè)在 區(qū)間上的函數(shù)滿足：

那么稱為上的下凸函數(shù)。

定義2.3 假設(shè)在 區(qū)間上的函數(shù)滿足：

那么稱為上的下凸函數(shù)。

現(xiàn)在，我們來證明這三個(gè)定義的等價(jià)性。

證明 .

當(dāng)時(shí)，，定義2.2顯然成立。為驗(yàn)證其一般性，假設(shè)對(duì)于時(shí)成立，現(xiàn)證明當(dāng)時(shí)式子也成立。不妨假定，任取非負(fù)數(shù)滿足，并取。

令 ， ，

由于，由歸納假設(shè)有：

考慮到，再由定義2.1，得：

從而當(dāng)時(shí)式子成立，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，定義2.2得證。

.

在定義2.2中，令，，立即可得：

，所以定義2.3得證。

.

分析：為能證明定義2.1 首先要證明由定義2.3可以得到

附注：鑒于文章篇幅有限，上式證明過程就省略了。

. 設(shè)

綜上所述定義2.1得證。

下凸函數(shù)除了以上三種常見的定義外，還有下面三種形式的定義，它們的本質(zhì)都是左差商不大于右差商，左右差商當(dāng)自變量差分減小時(shí)是不減的。

定義2.4 若函數(shù)在上滿足：

，

則為上的下凸函數(shù)。

定義2.5 若函數(shù)在上滿足 ：

，，

則為上的下凸函數(shù)。

定義2.6 對(duì)上的函數(shù)，

設(shè)，如果作為的函數(shù)在上是不減的，則為上的下凸函數(shù)。

注意：如無特別說明，本文中的開區(qū)間其取值范圍均為，而的取值范圍為：。

我們發(fā)現(xiàn)，上面三個(gè)定義與定義2.1是等價(jià)的，所以，定義2.1-定義2.6都是等價(jià)的，由于篇幅有限，他們的證明在此就省略。

2.2、凸函數(shù)的三個(gè)判定定理

上面討論了下凸函數(shù)的六個(gè)等價(jià)定義，利用這些定義可判斷一個(gè)函數(shù)是否為下凸函數(shù)。接下來再給出判定一個(gè)函數(shù)是否為下凸函數(shù)的三個(gè)定理。

定理2.1 若函數(shù)在上處處左右可導(dǎo)，其左右導(dǎo)數(shù)滿足：

，

，

則為上的下凸函數(shù)。

為了能證明定理2.1，為此先引入下述引理：

引理 2.1 設(shè) 上的連續(xù)函數(shù) 處處有右導(dǎo)數(shù)，那么：

證明 ， ，，由引理2.1得

即 ：，由定義2.4 知，為上的下凸函數(shù)。

定理2.2 如果在上連續(xù)并可導(dǎo)，且對(duì)于中任意一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，存在則為上的下凸函數(shù)。

證明 ，由 得：

令 ，把代入上式并對(duì)不等式組變形得:

兩式相加得：

再把代入上式得：

因此由以上結(jié)論得為上的下凸函數(shù)。

定理2.3 如果在上處處二次可微，且滿足，則為上的下凸函數(shù)。

證明 由于在上處處二次可微，取

由拉格朗日中值定理得:

由得在上是單增的，

那么 ，

所以，，由定理2.2得為上的下凸函數(shù)。

3、凸函數(shù)的相關(guān)應(yīng)用

凸函數(shù)的應(yīng)用范圍相當(dāng)廣泛，但本文篇幅有限，在此僅對(duì)其中證明不等式和驗(yàn)證級(jí)數(shù)收斂性兩方面進(jìn)行簡(jiǎn)單討論。

3.1、利用函數(shù)的凸性驗(yàn)證不等式。

例1 在凸四邊形ABCD中有：。

證明

由

得 ，所以知是上凸函數(shù)；

由不等式得：

即： ，綜上所述不等式得證。

3.2 用函數(shù)凸性驗(yàn)證級(jí)數(shù)的收斂性。

例2 設(shè)是上的凸函數(shù)，且存在，則級(jí)數(shù)收斂，其中：。

證明 由是上的凸函數(shù)知在上是單調(diào)函數(shù)，

則

其中，

（ⅰ）當(dāng)是下凸函數(shù)時(shí)，有

則

（ⅱ）當(dāng)是上凸函數(shù)時(shí)，有

則

參考文獻(xiàn)：

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