數學建模與數學學習

摘要：數學建模就是用數學的思維方法解決一些實際問題，具體地說就是用數學的語言去描述一個實際問題，從而建立一個數學模型，這個過程就是數學建模。數學建模課程的主要思想是幫助學生建立一種數學的思維方式，運用數學的語言和手段，通過對實際問題的分析、抽象和簡化，明確實際問題中的重要變量和參數，通過某些\"規律\"建立變量和參數間的相互聯系，從而得到數學模型。再利用數學的方法求得。

關鍵詞：數學建模 學習方法

一、數學建模的意義

新的高中數學課程標準要求把數學探究、數學建模的思想以不同的形式滲透在各模塊和個專題內容中，突出強調建立科學探究的學習方式，讓學生通過探究活動來學習數學知識的方法，增進對數學的理解，體驗探究的樂趣。因此掌握數學的學習方法和提高數學的應用能力已經成為高中學生刻不容緩的一門課程，而建立數學模型恰恰是學生學習好數學的一個很好的路徑。數學模型一般是實際事物的一種數學簡化。它常常是以某種意義上接近實際事物的抽象形式存在的，但它和真實的事物有著本質的區別。要描述一個實際現象可以有很多種方式，比如錄音，錄像，比喻，傳言等等。為了使描述更具科學性，邏輯性，客觀性和可重復性，人們采用一種普遍認為比較嚴格的語言來描述各種現象，這種語言就是數學。使用數學語言描述的事物就稱為數學模型。數學建模就是用數學語言描述實際現象的過程。這里的實際現象既包涵具體的自然現象比如自由落體現象，也包含抽象的現象比如顧客對某種商品所取的價值傾向。這里的描述不但包括外在形態，內在機制的描述，也包括預測，試驗和解釋實際現象等內容。作為用數學方法解決實際問題的第一步，數學建模自然有著與數學同樣悠久的歷史。兩千多年以前創立的歐幾里德幾何，17世紀發現的牛頓萬有引力定律，都是科學發展史上數學建模的成功范例。進入20世紀以來，隨著數學以空前的廣泛和深度向一切領域滲透，以及電子計算機的出現與飛速發展，數學建模越來越受到人們的重視，而且在現實世界中的作用也不言而喻了。

二、數學建模對數學學習的促進

1.數學建模促進數學思維的發展

數學建模與數學思維能力的發展是當前教學課堂的熱門話題。數學建模法是一種極其重要的思想方法，是培養學生實際應用數學的能力與意識的重要途徑。因此可以結合正常的教學內容，一方面滲透建模思想，另一方面根據教學內容的特點確定相應的思維訓練側重點，創設出集建模思想滲透與思維訓練于一體的教學方案。達到深化知識理解和發展數學思維的能力，激發學習興趣，強化應用意識的目的。下面通過用數學建模方法解實際問題來進一步闡述數學建模對促進數學思維的作用。

例１:客房的定價問題。一個星級旅館有150個客房，經過一段時間的經營實踐，旅館經理得到了一些數據：每間客房定價為160元時，住房率為55%，每間客房定價為140元時，住房率為65%，每間客房定價為120元時，住房率為75%，每間客房定價為100元時，住房率為85%。欲使旅館每天收入最高，每間客房應如何定價？

解：[簡化假設]

（1）每間客房最高定價為160元；

（2）設隨著房價的下降，住房率呈線性增長；

（3）設旅館每間客房定價相等。

[建立模型]

設y表示旅館一天的總收入，與160元相比每間客房降低的房價為x元。由假設（2）可得，每降價1元，住房率就增加10%÷20=0.005。因此y=150×(160-x) ×(0.55+0.005x)

由0.55+0.005x≤1可知0≤x≤90.

于是問題轉化為：當0≤x≤90.時，y的最大值是多少？

[求解模型]

利用二次函數求最值可得到當x=25即住房定價為135元時，y取最大值13668.75（元）。

[討論與驗證]

（1）容易驗證此收入在各種已知定價對應的收入中是最大的。如果為了便于管理，定價為140元也是可以的，因為此時它與最高收入只差18.75元。

（2）如果定價為180元，住房率應為45%，相應的收入只有12150元，因此假設（1）是合理的。

2.數學建模推進數學知識在實際應用的力度，同時讓學生在建模中感受到數學的應用，激發數學學習的自主性與創新性

建模能力是一個解題者各種能力的綜合運用，它涉及文字理解能力，對實際問題的熟練程度，最重要的是對相關數學知識的掌握程度。模型在表達問題的本質方面具有最突出的的作用，它將無序狀態轉化為明確的數學問題，然后構建數學模型，解決實際問題，增加學生對數學的學習興趣，以及激發學生的創新能力。下面通過用數學建模方法解實際問題來進一步闡述數學建模在激發學生數學學習的自主性與創新性的作用。

例２:一奶制品加工廠用牛奶生產A1，A2兩種奶制品，1桶牛奶可以在設備甲上用12小時加工成3公斤A1，或者在設備乙上用8小時加工成4公斤A2。根據市場需求，生產的A1，A2全部能售出，且每公斤A1獲利24元，每公斤A2獲利16元。現在加工廠每天能得到50桶牛奶的供應，每天工人總的勞動時間為480小時，并且設備甲每天至多能加工100公斤A1，設備乙的加工能力沒有限制。（1）試為該廠制訂一個生產計劃，使每天獲利最大。（2）33元可買到1桶牛奶，買嗎？（3）若買，每天最多買多少?（4）可聘用臨時工人，付出的工資最多是每小時幾元? (5)A1的獲利增加到30元/公斤，應否改變生產計劃？

加工每桶牛奶的信息表:

解：設：每天生產將x桶牛奶加工成A1，y桶牛奶加工成A2，所獲得的收益為Z元

(1)優化條件為：

x+y≤50

12x+8y=480

0≤3x≤100

Z=24×3x+16×4y=72x+64y

解得， 當 x=20，y=30時， Zmax=3360元

則此時，生產生產計劃為20桶牛奶生產A1，30桶牛奶生產A2。

（2）設：純利潤為W元。

W=Z-33×(x+y)=39x+31y=3360-33×50=1710（元）>0

則，牛奶33元/桶 可以買。

(3)若不限定牛奶的供應量，則其優化條件變為：

12x+8y≤480

0≤3x≤100

w=39x+31y

解得，當x=0，y=60時，Wmax=1860元

則最多購買60桶牛奶。

(4) 若將全部的利潤用來支付工人工資，設工資最高為n元。

n=Wmax/480=3.875(元)

(5)若A1的獲利為30元，則其優化條件不變。

Z1=90x+64y

解得， 當x=0，y=60時，Z1max=3840（元）

因此，不必改變生產計劃。