度量風險價值的GPD變點統計模型及其應用

【摘要】本文在極值理論的GPD模型基礎上，引入了變點統計方法，對GPD模型的閾值進行了定量選擇，從而減少了一般極值理論因主觀判斷所引起的閾值選取的偏差。最后，將此方法建立的模型應用到日元/美元匯率風險價值VaR和CVaR的計算中，取得了良好的效果。

【關鍵詞】GPD模型 變點 閾值 VaR CVaR

一、引言

風險度量是金融風險管理的基礎，而風險價值（VaR）及由此衍生的條件風險價值（CVaR）是當今金融風險測量的主流方法，是應用最廣泛的一種工具。傳統的VaR和CVaR計算方法一般都要對金融收益的分布類型進行假設，這降低了模型的可信性。以極值理論為基礎的GPD模型并不假設金融收益的整體服從某一分布，而只是研究分布的尾部特征，這樣就避免了模型風險。因此，近幾年來，GPD模型越來越廣泛地應用于金融風險的測量之中。

但在實際處理風險度量中的厚尾問題時，閾值的選取是GPD模型的一個關鍵環節，閾值選擇過大，則可用的數據就會很少，參數估計的方差偏大；若選擇過小，則導致參數估計有偏或不相合。為此，很多學者在閾值的選擇上作了大量的研究，Embrechts（1997）[2]建議使用模擬法，通過研究在不同閾值的情況下極值指數的形狀來確定閾值的大小；Drees和Kaufmann（1998）[3]提出了利用重對數構造Hill估計的樣本最優分割的停止時間以此選取閾值。本文在以上研究的基礎上，引入變點統計理論進行定量化的閾值選取，建立GPD變點統計模型，并將此方法應用到風險價值的計算中，以驗證其有效性。

二、廣義Pareto分布與閾值選取

設X1，X2，…，Xn是獨立同分布的隨機變量序列，分布函數F支撐的上端點為x*，對某固定的大值uu，則稱它為超閾值（execeedance），稱Xi-u為超出量（excess）。在一定的條件下，超出量X-u服從廣義Pareto分布（GPD分布）。其尾部為

■（x；μ，σ，ξ）=（1+ξ■■，ξ≠01-exp（-■），ξ=0 （1）

當ξ>0，分布具有厚尾特征，大部分金融數據都呈現出這種厚尾特征，α=1/ξ稱為尾部指標，一般用Hill估計量來估計尾部指標。將X1，X2，…，Xn按照升序排列，得到次序統計量x（i），滿足x（i）？叟x（i-1），i=1，2…，n。Hill（1975）提出了以下尾部指標α的Hill估計量：

α（k）=■■logx■-logx■，k=1，2，…，n-1 （2）

通過Hill估計法來選取閾值最常用的方法是作樣本的Hill圖，其定義為（k，α（k））：k=2，…，n的集合。閾值u要選擇Hill圖中呈現平穩線性狀態的最大k值對應的數據Xk。觀察Hill圖是一種很便捷的閾值選取方法，但在實際應用中會存在兩個問題：一是如何界定序列的平穩性？二是如何選擇跳點？依賴于主觀判斷來解決這兩個問題，通常會存在一定的偏差，這使得閾值的具體數值選取可能因人而異，同時難以通過計算機程序實現。為此，本文引入斜率變點，通過尋找直線中斜率發生結構性突變的點k來界定Hill估計的平穩線性狀態，此點位置所對應的數值即為所求的閾值。

三、斜率變點的估計

有關變點統計的理論和變點的檢測方法可見文獻[4]和[6]，這里假定確有變點。按照文獻[6]中斜率變點的估計方法，本文給出σ在某點前后變化最大的點，將該點作為斜率變點的估計。本文直接引用文獻[6]中提出的簡單模型：

y■=a■+σ■x■+ε■，1？燮i？燮k■a■+σ■x■+ε■，k■

這里斜率的變點為k0。假定在第k0個數據時將數據分成兩段，且兩段數據得到的回歸系數值分別為σ■■，σ■■，并計算前后系數的差值，記為

Δ■=σ■■-σ■■ （4）

那么斜率變點的估計為Δ■達到最大的點，即k0=arg（■Δ■），如果有幾個點同時達到最大，則以最臨近的點作為斜率變點的估計。

四、基于變點統計方法的GPD模型

通過上面的討論，可以考慮直線中斜率發生結構性突變的點k來界定GPD模型中Hill估計的平穩線性狀態，以此建立改進的GPD模型，并將其用于VaR及CVaR的計算中，其具體實現步驟如下：

首先，通過（2）式計算GPD分布的尾部指標α的Hill估計量；

其次，通過（3）式找到使（4）達到最大的點，該點即為斜率變點所在的位置；

再次，根據斜率變點所在的位置確定GPD模型的閾值u；

最后，根據選定的閾值u，應用極值統計方法估計GPD模型的未知參數，并代入以下計算式中，得出VaR和CVaR：

VaR■=u+■■（1-p）■-1 （5）

CVaR■=■+■ （6）

其中p為顯著性水平。

五、應用實例

本文以日元/美元匯率為例，檢驗上節所提方法應用于金融風險價值計算的有效性。采用的歷史數據為1973年1月1日至2012年7月31共10422個數據（數據來源：美國聯邦儲備局INTERNET網站）。

（一）VaR和CVaR的計算

首先，根據極值理論，并借助R統計軟件中的極值統計包evir中的hill函數，得到相應的Hill值，再利用變點統計理論對Hill估計的斜率變點進行檢驗可知，通過（4）中Δ■達到最大，搜索得到變點位置k0=10224，即在第10224個數據時Hill估計斜率發生了結構性變化，由此得所求閾值為u=1.5811。

根據選定的閾值，超過閾值u的樣本數的個數為198個，為了提高估計的精確度，采用Bootstrap再抽樣的方法，即根據這198個數據構造經驗分布，再從這個分布中抽取10000個樣本，一共抽10組，分別用這10組樣本用極大似然估計對參數進行估計，得到σ和ξ的估計值分別為0.5142和0.1829，其標準差分別為0.05504和0.08110。再利用（5）式和（6）式得到在不同的置信水平下的VaR和CVaR，如表1。

表1 GPD模型下的VaR和CVaR

注：一般GPD模型下VaR和CVaR的計算直接引用文獻[1]中的方法計算得到。

從表1可以看出，基于變點統計方法的GPD模型計算得到的不同置信水平下的VaR和CVaR值均明顯大于一般極值理論建立的GPD模型所計算的VaR和CVaR值，這表明一般極值理論建立的GPD模型存在著低估風險的可能，而通過變點定量選取閾值的方法能更為精確的刻畫風險程度，增加模型的靈敏度。

（二）模型的有效性檢驗

為檢驗模型的有效性，需要檢驗計算的VaR對實際損失的覆蓋程度。根據樣本計算出損失超過VaR值的天數t，進一步計算溢出率E=t/n。并將E值與顯著性水平p進行比較。若E>p，說明模型低估了風險，反之表明預測結果覆蓋了實際的損失，但是如果E太小則說明估計過于保守。下表給出了檢驗的結果：

表2 模型計算的VaR的檢驗結果

從上表可以看出，兩個模型計算出實際溢出率E

六、結語

本文利用變點統計方法改進了一般極值理論下的GPD模型，該方法能定量地確定GPD模型的閾值，克服了利用Hill估計等傳統方法在選取閾值時過于依賴于主觀判斷的缺陷，并將建立的模型應用于金融風險度量和管理中，使得極值理論在金融風險的應用中更為精確地度量VaR和CVaR。

但是，由于本文用于實證所收集的日元/美元匯率數據可能只是實際數據的一部分，還不能完全反映數據的真實情況，因此應用上述估算的實證結果只是基于收集數據的反映，不一定能完全反映實際情況。如何在不完整數據及小樣本條件下，更合理、科學和準確地估算和預測VaR和CVaR，還有一些關鍵問題值得做進一步探討。

參考文獻

[1]史道濟.實用極值統計方法[M].天津：天津科學技術出版社，2005：42-106.

[2]Embrechts P，et al.Modelling extreme events for insurance and finance[M].Springer Verlag，1997.

[3]Drees H，et al. Selecting the optimal sample fraction in univariate extreme value estimation[J].Stochastic Processes and their Applications，1998：149-172.

[4]陳希孺.變點統計分析簡介：（I）問題的提法[J].數理統計與管理，1991，（1）：52-58.

[5]葉五一，繆柏其，譚常春.基于分位點回歸模型變點檢測的金融傳染分析[J].數量經濟技術經濟研究，2007，24（10）：151-160.

基金項目：西藏民族學院青年項目（10myQ03）；國家社科基金西部項目（11XJY011）。

作者簡介：汪朋（1983-），男，湖北武漢人，數理統計學碩士，講師，統計師，研究方向：統計決策和計量經濟學。