巧用平面幾何解決高中數學問題

孫　嵐　王紅芳（江蘇省蘇州沙溪鎮高級中學）

巧用平面幾何解決高中數學問題

孫嵐王紅芳
（江蘇省蘇州沙溪鎮高級中學）

數學教學的目的不僅要求學生掌握好數學的基礎知識和基本技能，還要求發展學生的能力，培養他們良好的個性品質和學習習慣。很多學生初中學習也是不錯的，高中后卻發現慢慢跟不上了，原因往往是學習太死，只會就事論事，脫離了知識與知識之間的聯系，高中的很多內容與平面幾何都是有密不可分的關系的。下面就平面幾何在后繼學習中的價值做一些例證，以饗讀者。

一、平面幾何的空間推廣——立體幾何

立體幾何是在初中幾何知識的基礎上，進一步研究立體圖性的基礎知識。研究立體圖形時，一方面要注意立體圖性問題與平面圖形問題的區別，另一方面也要注意立體圖性與平面圖形的聯系，在立體幾何中有很多基本概念，如異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角和兩條異面直線的距離、點到平面的距離、直線到平面的距離、兩個平行平面的距離等都是通過平面幾何相關的概念來定義，這使得對于平面圖形的研究成為討論立體圖形的基礎，從而立體圖形的問題常常轉化為平面圖形的問題來解決。

1.概念的延伸

平面幾何是在二維的平面上研究圖形，而立體幾何是在三維的空間分析問題，所以，我們不妨將平面中的點往一個方向延伸則成了一條線，將直線延伸則成了一個面等，有了這樣的思想我們就不難解決下面兩個問題。

例1.我們知道：周長一定的所有矩形中，正方形的面積最大；周長一定的所有矩形和圓中，圓的面積最大。將這些結論類比到空間，可以得到的結論是：

顯然答案應為：表面積一定的所有長方體中，正方體的體積最大；表面積一定的所有長方體和球中，球的體積最大。

2.思想方法的推廣

正因為立體幾何是建立在平面幾何的基礎上，所以，它們解決問題的方法也有相似之處，我們來看看下面這個例子。

例2.平面幾何中有：邊長為a的正三角形內任一點到三邊距離之和為定值，棱長為a的正四面體內任一點到四個面的距離之和為_____。

在△ABC內任取一點P，連接PA、PB、PC

設P到AB的距離為d1，到BC的距離為d2，

到AC的距離為d3，三角形的高為d。

則有S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC

這里采用的是對平面面積的割補法，類似的對于下一個正四面體的問題，我們也可以用類似方法來解答。

在正四面體ABCD內任取一點P，連接PA、PB、PC、PD

設P到面ABC的距離為d1，到平面BCD的距離為d2，

到平面ABD的距離為d3，到平面ACD的距離為d4，

正四面體的高為d，各面面積均為S，

這里是對幾何體的體積進行割補法，與上例如出一轍，可見，把握住平面幾何和空間幾何的聯系，對解決空間問題是很有幫助的。

3.利用平面展開圖解決立體幾何問題

例3.長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，AA1=c，且a＞b＞c，現有一小蟲從A點出發沿長方體的表面爬行到C1點，請問小蟲爬行的最短距離是多少？

這是一個求最小值的問題，對于平面幾何我們有很多求最值的方法，但對于立體幾何的相關問題卻無從下手。于是我們考慮將問題轉化為平面問題，將長方體的表面展開如圖。

利用平面幾何中兩點間線段最短可知小蟲爬行經過最短路程必為其中之一。

在高中階段，立體幾何承擔著學生空間想象能力培養的主要任務，研究立體幾何圖形的結構成為學生主要的學習要點和難點，抓住平面幾何和立體幾何的關系進行教學，有助于幫助學生溫故知新，通過類比的方法更深刻地理解立體幾何。

二、用平面幾何知識解決解析幾何問題

解析幾何是用代數方法解決幾何問題的一門學科，因此與平面幾何也是互相融合的，當用代數方法過于繁復時，我們不妨思考一下能否用幾何方法解決。我們來看看下面的例子。

（1）當l1與l2夾角為60°，且a2+b2=4時，求橢圓C的方程；

分析：第一小題解答比較容易，只要抓住兩條漸進線與x軸夾角為30°，得到聯立即得，b=1。所以，橢圓C的方程為

初中數學是高中數學的基礎，數學內部各類別的知識也是相容相通的，有了初中的平面幾何，在此基礎上發展起來的立體幾何才有其生存成長的空間，所以，我們在解題過程中，不能就事論事，多做些思考，很多問題就會豁然開朗。

·編輯王團蘭