運用化歸思想求陰影部分面積

化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數學思維方式。所謂的化歸思想，就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，將復雜問題化為簡單問題；將難解的問題化為容易求解的問題；將未解決的問題化為已解決的問題。總之，化歸在數學解題中幾乎無處不在，化歸的基本功能是：生疏化成熟悉，復雜化成簡單，抽象化成直觀，含糊化成明朗。

一、運用旋轉化歸將不規則、非特殊圖形化歸為規則的、特殊的圖形求解

例1.如下圖，是一塊直角三角形的土地，現在要在這塊土地上挖一個正方形的魚塘AEDF，若已知剩余的兩直角三角形兩條

斜邊長分別為20 cm和30 cm，問剩余的兩直角三角形土地面積

和是多少？

常規法：

設正方形AEDF邊長為x，如圖，利用勾股定理可得x的值，進而求出陰影面積。這個方法顯然計算上比較繁瑣。

那能否把兩個直角三角形化歸為一個三角形？如何轉化？把三角形DCF以點D為圓心旋轉，使DF與DE重合，點C的對應點為點C′，陰影部分面積轉化為三角形BDC′的面積。

方法提煉一：通過旋轉變換將兩個直角三角形化歸為一個直角三角形解決實際問題。

配套練習1.在四邊形ABCD中，AD=CD，DE⊥AB于E，∠ADC=

∠ABC=90°。若四邊形ABCD的面積是36，求DE的長。

方法一：把三角形DEA以點D為圓心順時針旋轉90°，使DA

與DC重合，并證明BCF三點共線。

方法二：延長BC，并過點D作BC的垂線交于點F，并證明三角形AED和三角形CDF全等。

二、運用平移化歸，將不規則、非特殊圖形化歸為規則的、特殊的圖形求解

例2.如圖，大半圓O與小半圓O1相切于點C，大半圓的弦AB與小半圓相切于E，且AB∥CD，AB=4cm，求陰影部分的面積。

方法提煉二：圖中陰影部分面積與半圓O1位置無關，通過平移變換得到一個半圓環求解。

配套練習3.如圖，在邊長分別為a和b的矩形草地內修一條十字形的路，設路寬均為x，則剩余部分草地的面積是多少？

方法：都通過幾次平移把陰影部分面積化歸成一個大矩形的面積。

三、作平行線，將不規則、非特殊圖形化歸為規則的、特殊的圖形求解

例3.如圖，A是半徑為2的圓O外一點，OA=4，AB是圓O的切線，點B為切點，弦BC與OA平行，連結AC，則陰影部分面積為多少？

方法提煉三：運用平行線間距離處處相等。同底等高的三角形面積相等等相關性質進行化歸。題中把一個不規則的圖形化歸為一個圓心角為60°的扇形求解。

配套練習4.已知正方形ABCD的邊長為2，點E在AB上，四邊形EFGB也為正方形，設三角形AFC的面積為S，則S的值為

多少？

方法：運用平行線間距離處處相等，同底等高的三角形面積相等等相關性質使整塊陰影面積化歸為直角三角形ADC的面積，從中也可發現將三角形AFH可化歸為三角形HDC。

四、利用分解、組合等手段，化歸為規則的、特殊的圖形求解

例4.如圖，E、F分別為長方形ABCD邊AD、BC上的點，且三角形ABG、三角形DCH的面積分別為15、20，則陰影部分的面積是多少？

方法提煉四：直接求解難度較大，通過對圖形特征的觀察，利用同底等高三角形面積相等，將四邊形GFHE的面積化歸為兩個已知三角形的面積之和。

運用化歸思想將不規則、非特殊圖形，通過旋轉、平移、作平行線以及分解、組合等手段，化歸為規則的、特殊的圖形求解，使解題達到事半功倍的效果。

（作者單位 浙江省舟山市南海實驗學校）