用構造法求遞推數列的通項公式

【摘 要】給出遞推關系，求數列的通項公式是數列的一塊重要內容。用構造法求遞推數列的通項公式是必須掌握的一項技能。本文主要介紹用構造法求遞推數列的通項公式的幾種常見類型。

【關鍵詞】構造法；轉化；化歸

給出遞推關系，求數列的通項公式是歷年高考的熱點。在此類問題中，轉化與化歸的方法是最重要的數學思想之一，起著不可或缺的作用，貫穿在數列的整個學習過程中。轉化是解決遞推數列問題的實質所在，所以，培養學生明確的“轉化”意識，深刻理解這種思想方法的內涵，并能在解題過程中靈活運用，對于學生來說至關重要，甚至是考察學生數學思維的一項重要內容。

等差數列、等比數列是數列中最基礎且最重要的兩類特征數列，也是高中階段數列內容中的重點研究對象但在平時的習題中，往往碰到的不是這兩類數列，所以有時需要用構造法將其轉化為等差數列或等比數列，這種方法就是求數列通項公式時經常使用的構造法，體現的正是轉化與化歸的數學思想，將非等差和非等比數列轉化為我們熟悉的等差等比數列，進而使問題得到根本解決。此類題通常較難，但使用構造法往往給人耳目一新的感覺。構造的方法很多，可根據遞推公式的特征而定，現將幾種常見類型的問題總結如下：

第一類：構造等差數列

類型1.an+1=■類型

針對這種遞推關系中存在分式的問題，經常需兩邊取倒數，得到關系式■=■+■，構造出等差數列{■}，通過求{■}的通項公式，進而求出數列{an}的通項公式。

例如：已知數列{an}中，a1=1，an+1=■，求數列{an}的通項公式。

解析：∵an+1=■，∴■=■+1，又∵a1≠0，∴an≠0

所以數列{■}是首項為1，公差為1的等差數列。∴■=1+n-1=n，∴an=■.

∴數列{an}的通項公式為an=■.

類型2.an=pan-1+pn+k類型（其中k為常數）

這種類型可以采取等式兩邊同除以pn，得到關系式■=■+■，構造出等差數列{■}，進而得到數列{an}的通項公式。

第二類：構造等比數列

在數列求通項的有關問題中，經常遇到即非等差數列，又非等比數列的求通項問題，特別是給出的數列相鄰兩項是線性關系的題型，可以通過構造等比數列或等差數列求通項公式。

類型3.an+1=pan+q類型（其中p、q為常數，且p≠1，q≠0）

這類問題可用構造法化歸為等比數列{an+x}，運用待定系數法求出x，通過求出等比數列{an+x}的通項公式，求出數列{an}的通項公式。這種類型的遞推公式比較常見，也很重要，下面類型4、類型5的問題往往需要變形成這種類型來解決。

類型4.an+1=■類型（其中p，q為常數，且p≠0，q≠0）

此種類型需先將等式兩邊同時取倒數，得到■=■·■+■化歸為類型3的問題來解決。

類型5.an+1=pan+f(n)型（其中p為常數，且p≠1）

當f(n)=kn+b時，可設an+1+An+B=k[an+A(n-1)+B]，展開之后與給出的遞推公式相同求出A、B，化歸為等比數列{an+An+B};當f(n)=qn+k時，可等式兩邊同除以qn，得到■=■.■+■，化歸為類型3的問題來解決。

類型6.an+1=pann型（其中p為常數）

此種類型需要兩邊取同底對數，如取以10為底的對數，得到lgan+1=nlgan+lgp，轉化為類型3來解決。

【總結】

此類問題的主要方法就是根據遞推關系，分析結構特征，善于合理變形，最終的目的是構造出一個與之相關的等差數列或者等比數列的形式。這種化歸的思想在這類問題中隨處可見。化歸思想有著它的風趣描述和理論基礎，它并不是孤立存在的，與我們其它的各種思想相互聯系著。在高中階段的教學過程我們可以挖掘知識發生過程的化歸思想，滲透知識應用過程中的化歸思想，加強解題教學，突出化歸思想。“授之以魚，不如傳之以漁”，“教是為了不教”，數學思想對提高學生數學能力有著重要的作用。時代在發展，思想在更新，我們教育工作者一定要把學習的主動權化歸到學生的身上去。

【參考文獻】

[1]數學教學通訊(高考數學).2008年第3期.《高中數學中轉化與化歸思想的運用》

[2]中學生數學報.張永俠.《升華教材-習題 解決一類大問題》

[3]中學數學教學參考.姚愛亮.《高考中遞推數列求通項例析》2010年第10期

（作者單位：浙江省衢州第三中學）