閉區間上二次函數求最值探討

【摘 要】二次函數是初中數學學習的重難點問題，特別是關于在閉區間求最值的問題成為許多同學所困擾的問題，筆者將此問題分為：定軸動區間，定區間動軸和逆向求值問題等三個問題來加以討論。

【關鍵詞】初中數學；閉區間；二次函數；最值

蘇科版初中數學九年級下冊第六章學習的是二次函數的圖像和性質，這部分內容不僅是整個初中數學內容的重難點問題，它還是同學們以后繼續學習數學函數問題的基礎。在閉區間上求二次函數的最值問題更是這部分內容重點中的重點問題了，它需要學生對二次函數的性質和應用有熟悉的了解和掌握。這部分內容也常常成為同學們頭疼的問題，但是又往往是考試的重要出題點。一般地，對于一個二次函數y=ax2+bx+c(a≠0，x∈R)，當x=-■時，二次函數就有最值f(-■)。這時候當a>0時，可以取得最小值；當a<0時，可以取得最大值，這樣的題目還是比較簡單的。而所謂閉區間上二次函數求最值就是給變量x取值范圍，它不再是一個確定的值，而是屬于一個閉區間，如x∈[a，b]，這時候求最值就比較麻煩了。那么，這時候二次函數的值一般要分幾種情況來考慮。所以，數學教師在教這部分內容，要結合二次函數的性質和圖像采取一定的步驟，把最值問題按不同的情況進行分類，幫助學生理清思路，幫助學生記憶。以下是我根據自己的教學實際，把此問題分為三種不同的情況，淺談一下在閉區間上二次函數求最值的問題。

一、定軸動區間

所謂的定軸動區間就是說這時候二次函數的對稱軸是可以確定的，而閉區間不確定，有一定的變量存在，是不確定的。二次函數在閉區間上的最值受制于對稱軸與區間的相對位置關系，特別是含參數的兩類“定區間動軸、定軸動區間”的最值問題，要考察區間與對稱軸的相對位置關系，分類討論常成為解題的通法，這些問題其實仔細思考就很容易解決。通過二次函數的性質和圖像，我們不難觀察到：二次函數在閉區間上的最值總是在閉區間的端點或二次函數的頂點取到。

例1.求f(x)=－x2+2x-2在閉區間[t，t+1]上最大值和最小值是多少。

分析：根據二次函數最值出現的可能：二次函數在閉區間上的的最值總是在閉區間的端點或二次函數的頂點取到。在這個例題中，這個二次函數是開口向下的，在閉區間上，它的最大值在區間的兩個端點或二次函數的頂點都有可能取到，有三種可能，所以分三種情況討論；而它的最小值不可能是二次函數的頂點，只可能是閉區間的兩個端點，哪個端點距離對稱軸遠就在哪個端點取到，當然也就根據區間中點與左右端點的遠近分兩種情況討論。

解：由二次函數f(x)=－x2+2x-2，可以很簡單的得出二次函數的對稱軸是x=1。

（1）求二次函數的最大值f(x)max

當t+1<1，即t<0時，f(x)max=f(t+1)=-t2-1

當t<1≤t+1，即t<0時，f(x)max=f(t+1)=-t2-1

當t≥1時，f(x)max=f(t)=-t2+2t-2

（2）求二次函數的最小值f(x)min

當■<1時，t<■，f(x)min= f(t)=-t2+2t-2

當■≥1時，t≥■，f(x)min= f(t+1)=-t2-1

這樣，這道題的最值就由分別討論得出來了，這就是定軸動區間的情況，求最大值的時候主要考察對稱軸有沒有在區間里，因為當圖像開口向下的時候，區間兩端點和對稱軸上都有取得最大值的可能性，而最小值的取值不可能在圖像頂點，只可能是區間兩端點，所以只分兩種情況就可以了。

二、定區間動軸

所謂的定區間動軸是和定軸動區間正好相反的一種情況，這種情況是區間固定，而圖像的對稱軸是不固定的情況。這種情況下，想要求得二次函數的最值也是要分情況討論而定，這種分類其實本質上和定軸動區間的情況一樣。

例2.求f(x)=x2+2ax+1在區間[-1，2]上的最小值和最大值是多少？

分析：從這個二次函數來講，其圖像的開口向上，其最小值有可能在頂點和區間兩端出現，這就需要考查對稱軸是否在區間內部；最大值只能出現區間的兩端點。

解：由二次函數f(x)=x2+2ax+1，可得對稱軸方程為：x=-a.

（1）求二次函數的最小值f(x)min

當-a<-1，即a>1時，f(x)min=f(-1)=-2a+2;

當-1≤-a<2即-2

當-a≥2，即a≤-2時，f(x)min=f(2)=4a+5;

（2）求二次函數的最大值f(x)max

當-a<■即a>-■時，f(x)max= f(2)=4a+5;

當-a≥■即a≤-■時，f(x)min=f(-1)=-2a+2;

三、逆向求值問題

所謂逆向求值問題就是已知了一個二次函數在某一段區間上的最值，而求二次函數系數上的某個變量的值的運算，實質上是二次函數求最值的逆向運算，是二次函數求最值運算的一種變化的題型，這種題型在考試中也是經常出現的。

例3.已知二次函數f(x)=ax2+(2a-1)x+1在區間[-■，2]上的最大值為3，求實數a的值是多少？

分析：這個問題，若從求最值入手，需分a>0與a<0兩大類五種情形討論，過程繁瑣不堪。若注意到最大值總是在閉區間的端點或拋物線的頂點處取到，因此先計算這些點的函數值，再檢驗其真假，過程就簡明多了。

解：（1）當最大值在圖像的頂點處的時候，即令f(-■)=3，得到a=-■;此時拋物線的開口向下，對稱軸x=-2，不在區間[-■，2]上，所以a=-■是不符合題意的。

（2）令f(2)=3，得到a=■，此時拋物線的開口向上，閉區間的右端點距離對稱軸較遠，所以a=■是符合題意的。

（3）令f(-■)=3，得到a=-■，此時拋物線的開口向下，閉區間的右端點距離對稱軸較遠，所以a=-■是符合題意的。

綜上所述，a=■或者a=-■都是符合題意的。

總之，二次函數在閉區間上求最值一直是教師和同學感到棘手的問題，其實只要分析清楚題目，看清題目是屬于哪一個類型，然后再分類解決就可以了。在平時學習中，同學們一定做好知識的梳理工作，勤于思考，學會融會貫通，舉一反三。

【參考文獻】

[1]陳玉華.關于初中數學函數教學設計的幾點思考[J].數理化學習，2009(11)

[2]謝華.在初中數學教學中如何培養學生的學習興趣[J].考試周刊，2009(25)

（作者單位：江蘇省靖江市靖城中學）