質點組的動能定理應用釋疑

摘 要:本文詳細分析了應用質點組的動能定理的應用，指出了如何分析一對力做功和恰當選取質點組的技巧，對于學生的理解學習動能定理有很好的指導作用。

關鍵詞:質點組 動能定理 一對力

中圖分類號:O311文獻標識碼:A 文章編號:1674-098X(2012)03(a)-0219-01

1 引言

動能定理是大學物理力學中一條重要的規律，他的應用范圍很廣。大多數的物理教材中都重點強調了質點的動能定理，而對質點組的動能定理涉及的比較少，只是一個簡單的說明:質點組動能的增量等于外力、內力對質點組所做的功的代數和，這就是質點組的動能定理。我在教學活動中，分析了質點組中一對內力做功的特點和如何恰當選取質點組，取得了較好的教學效果。

2 內力做功的特點

可以證明，一對內力(作用力和反作用力)做功之和，恒等于其中一個物體所受的力與這個物體相對于另一個物體相對位移的點積，與參考系的選擇無關。

如圖1所示，考慮兩個質點，設在任意時刻t。他們相對于一參考點o的位置分別為，速度分別為，作用在的力為，作用在的力為，當分別發生位移、時，這是作用力和反作用力做功之和為，

由于，所以

，

，，代入上式得，是質點相對于的速度，而是相對于的位移，所以 ，積分得。相互作用力只依賴于現對位置，因此積分與參考點O的選擇無關，為了計算一對內力做功之和，可以選取與相對靜止的物體作為參考系，這樣作用在的力與相對位移的點積就是一對內力的總功。(如圖1)

3 應用舉例

把上述結論應用到一些二體問題(系統只有兩個相互作用的質點)中，可以使問題的求解大為簡化。

【例1】 在光滑的水平軌道上，有兩個半徑都是R的小球A和B，質量分別為m和2m，當兩球心間的距離大于L(L比2R大得多)時，

兩球之間無相互作用，當兩球心間的距離等于或

小于L(L比2R大得多)時，

兩球之間存在恒定的斥力。

設A球從遠離B球處

以速度沿兩球心連線向原來靜止的B球運動，如圖所示，欲使兩球不發生接觸，必須滿足什么條件？(如圖2)

解:若使A、B不發生接觸，則必須在它們的距離最小，

即等于2R時，速度要正好相等。

不管在這一過程中A、B的真實位移是多少，

A相對于B的有效位移都是

，所以根據質點組的動能定理有:

(1)

又根據質點組水平方向的動量守恒，所以(2)

聯立(1)式和(2)式解得:

，因此，欲使兩球不發生接觸，則

【例2】如圖所示，一質量為M，長為L的

長方形木板B放在光滑的水平面上，在右端放一質量為m的小木塊A()，現在以地面為參照系，給A和B以大小相等，方向相反的初速度，使A向左運動，B開始向右運動，但最后A剛好滑到B板的左側端點，沒有滑離B板。(如圖3)

(1)若已知A和B的初速度，求它們最后速度的大小和方向。

(2)若的大小未知，求小木塊向左運動到達的最遠處離出發點的距離。

分析:A、B之間通過摩擦力相作用，是系統內力，在水平方向無其它外力作用，所以在過程中動量守恒。A滑致B的左端，其過程分兩步，其一，A向左勻減速運動，其二，A向右勻加速運動，和B具有相等的速度，整個過程A與B之間的相對位移是板長L。

解:(1)根據動量守恒

解得

方向向右

(2)A、B之間的摩擦力，根據二體問題的質點組的動能定理有:

對m有(為小木塊向左運動的的最遠位移)

所以可得=

4 選取質點組時應注意的問題

質點組的動能定理是利用牛頓定律推導出來的。只適用于力學范圍的慣性系，因此如果體系中包含化學反應，較復雜的熱現象以及生命現象的“復雜系統”，在準備應用質點組的動能定理時應特別小心，最好事先將這種“復雜系統”排除在外。例如在發射炮彈問題時，應將火藥燃燒物排除于質點組以外(因為在發射過程中，燃燒物的體積膨脹，已不可視為質點;而這種膨脹又來源于火藥的放熱化學反應;伴隨著發射過程中的進行的化學能到熱運動的能量以致于動能的轉變涉及大量分子的運動。)，這時燃燒物對炮彈和炮身的推力都是外力，都做了正功，這正功的和等于炮身動能的改變量，于是問題得到解決，如果很難將上述復雜系統排除質點組以外，則須考慮使用別的方法去解決。