粒子穿過矩形復數勢阱的相時的研究

摘 要:由方程的性質和邊界條件求解薛定諤方程，計算出粒子穿過矩形復數勢阱的相時，發現相時的大小與勢阱本身的性質(勢阱寬度、勢阱的虛部和實部)有關，還與入射粒子的能量有關。然后分析系統中的相關因素對相時的影響。發現負延遲現象和“Hartman effect”也在矩形復數勢阱的隧穿中存在。

關鍵詞:量子隧穿 矩形復數勢 相時

中圖分類號:O431.2文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2012)03(a)-0013-02

隧穿時間作為一研究課題，從提出到現在已有80多年的歷史了，但至今仍沒有一個統一的定論，無論是從理論研究還是實際的應用都取得了突飛猛進的發展和前所未有的收獲，并且出現了許多研究隧穿時間的方法，例如有隧穿駐留時間、拉莫時間、復時間、相時等等。在量子理論中時間僅僅作為參數，而非作為可觀測量出現。也就是說，作為量子機制的時間算符是不存在的，沒有直接的方法計算遂穿時間。因此一系列的方法被提出，用以解決這個問題。本文主要研究粒子在勢阱中的相時問題，相時或群延遲，與經典物理中波動力學的群延遲概念相仿，在量子力學機制中粒子運動可以用幾率波或波包描述，而相時就是幾率波的相移對能量或波數求導得到的。近年來，隨著半導體制造技術的發展，又引起人們極大的研究興趣。隧穿中粒子的幾率往往是不守恒的，需引進復數勢阱來研究粒子的隧穿問題。關于復數勢阱的隧穿時間，Fabio Raciti和Giovanni Salesi曾為研究在吸收現象中的隧穿時間和Hartman-Fletcher效應，而引進矩形復數勢阱，但他們并沒有深入研究影響相時的因素對其作用。鑒于前人的工作，本論文首先計算出矩形復數勢阱的相時，然后用Matlab和Origin數學軟件進行可視化數值分析，使研究內容更加直觀清晰。

1 相時的計算

假設具有一定能量的一束粒子沿x軸正方向射向如下的矩形勢阱，

(1)

和均是大于0的實數。不同的入射能量對應不同的解，分兩種情況進行討論。

1.1 入射能量大于勢阱的能量()

系統的薛定諤方程的解的波函數可設為:

(2)

其中;，且實部和虛部分別為:

由波函數的性質和邊界條件可解得為:

(3)

其中，，若令，為粒子穿過矩形復數勢阱的相位移。

(4)

根據相時的定義，可求得粒子穿過矩形復數勢阱的相時為:

(5)

1.2 入射能量小于勢阱的能量()

同理可求得粒子穿過矩形復數勢阱的相時與(5)式相同，但此時的待定系數D為:

(6)

從計算結果(5)、(6)可知，相時與粒子的入射能量、勢阱的寬度、勢阱的實部和虛部都有關。我們分情況討論每個因素對相時的影響。

2 數值分析

相時與入射粒子的能量和勢阱寬度的關系如圖1-3，數值分析可知當勢阱去相同寬度是，圖1和圖2的曲線銜接的非常好，所以我們得到圖3，當實部和虛部均為定值，隨著入射能量的增加相時的取值在能量較小的情況下區分比較明顯且負延遲現象也明顯，即所謂的超光速現象。隨著入射能量的增加相時會先增大后減小，最后趨于0。在a增大到一定程度時，相時不再變化，即所謂的“Hartman effect”。

相時與入射粒子的能量和勢阱實部的關系見圖4。在能量的區域內，無論實部取何值，在入射能量較小的情況下，總會有負延遲的現象;而且隨著實部的增大，即粒子在勢阱中的散射越明顯，負延遲越顯著。粒子從負延遲到正常的隧穿所需要的能量也就越大。每一條曲線都有一個最大值，這個最大值隨著實部的增大而增大。因為當勢阱的實部增大時相當于粒子在勢阱中的散射越明顯，在能量較小時，投射現象較強，而在能量較大時，反射現象較強，所以它所需要粒子入射能量和相時都會隨著增大。由最大值而衰減為零，是因為當能量達到一定程度時，相應的隧穿時間定會減小。

相時與入射粒子的能量和勢阱虛部的關系如圖5，隨著入射能量的增大，相時先增大后減小，且當粒子的入射能量較小時，總會出現非常明顯的負延遲現象。同時還可以看出當勢阱的虛部較大時，即粒子在勢阱中的吸收越強烈，這種負延遲現象越顯著。而且當虛部較小時，相時有一個先增大后減小的趨勢，最后總體達到一個穩定值。也就是說隨著入射能量的增加，不論虛部取何值相時最終達到一個穩定的值。

考慮兩種比較特殊的情況:(1)令勢阱的實部為0見圖6。當只有虛部時，即粒子在穿過復數勢阱時只發生吸收現象，且此時能量的取值大于0的區域，是沒有限制的。則相時隨著入射能量()的增加先增大后減小且最終趨于一個穩定值0。同時還發現，當粒子的入射能量較小時，對應的相時是負數，即負延遲現象。對于入射能量的情況是沒有意義的。(2)當勢阱虛部為0時，相時與入射能量的關系見圖7。相時隨著能量的增大，先出現負延遲現象，然后出現增大達到最值后有一個跌宕衰減的趨勢，最后相時將變成一個常數，最后趨于0。

3 結語

通過一系列的作圖分析，我們發現在能量所有取值范圍內，矩形復數勢阱的相時都會隨著入射能量的增加出現一種先增大后減小最后趨于0的變化趨勢，且當粒子的入射能量較小時，總會出現負延遲的現象。另外，隨著勢阱寬度的增加，將出現 \"Hartman effect\"。經研究我們還發現，當勢阱的實部增大時，即粒子在勢阱中的散射越明顯，負延遲越顯著。而當勢阱的虛部較大時，即粒子在勢阱中的吸收現象越明顯，這種負延遲現象也越顯著。當虛部較小時，相時有一個先增大后減小的趨勢，最后總體達到一個穩定值。

參考文獻

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①作者簡介:曲曉英(1980-)，女，講師，主要從事量子系統的介觀輸運方面的方面的研究。