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【關(guān)鍵詞】有效教育 單元組 思維擴(kuò)張訓(xùn)練

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2012）07B-0054-03

“有效教育是通過組織和參與來實(shí)現(xiàn)的，追求的最終目標(biāo)就是教育的有效”，這是“EEPO有效教育”的核心理念。“單元組”是“EEPO有效教育”中最基本的教學(xué)組織形式，通過它可以引導(dǎo)學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)，使學(xué)生自始至終積極地參與到課堂教學(xué)中，最大限度地提高課堂教學(xué)質(zhì)量。

本文以人教版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)“二次函數(shù)”的習(xí)題26.3的第9題的變式題教學(xué)為例，說明如何用“單元組”進(jìn)行思維擴(kuò)張訓(xùn)練。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.以該題作為載體，復(fù)習(xí)利潤問題的解法，體現(xiàn)方程思想、函數(shù)思想在實(shí)際問題中的運(yùn)用；

2.通過對(duì)問題的探索與交流，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、提出問題、解決問題的能力和團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神。

【教學(xué)重點(diǎn)】

通過一題多解復(fù)習(xí)一元二次方程的實(shí)際問題中的利潤問題。

【教學(xué)難點(diǎn)】

問題中的變量關(guān)系的確定。

【教學(xué)過程】

1.提出問題 自主探究

師：我們學(xué)到的知識(shí)越多，解決同一個(gè)問題的方法也就會(huì)越多。請(qǐng)同學(xué)們看看下面的問題，可以從哪些不同的角度去思考得到答案，看誰能在最短的時(shí)間內(nèi)找到最多的方法。

問題：長城賓館有30個(gè)標(biāo)準(zhǔn)間供游客居住，當(dāng)每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)間定價(jià)為180元/天時(shí)，30個(gè)標(biāo)準(zhǔn)間全部住滿；當(dāng)每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)間的定價(jià)每增加10元/天時(shí)，就會(huì)空出一間來。已知賓館需對(duì)已居住的標(biāo)準(zhǔn)間每天支出20元的各種費(fèi)用，那么每天每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)間的定價(jià)為多少元時(shí)，賓館每天可獲得5 200元的利潤？（讓學(xué)生充分地獨(dú)立思考）

師：（完成的學(xué)生用約定手勢(shì)“ok”表示）大家都陸續(xù)有了自己的想法。請(qǐng)用手勢(shì)告訴老師，你想到了幾種方法？（學(xué)生伸出相應(yīng)的手指來表明自己想到了幾種解法，絕大多數(shù)學(xué)生想到了1～3種解法）

2.小組交互 積少成多

師：同學(xué)們真能干！大家是“英雄所見略同”，還是“殊途同歸”呢？現(xiàn)在就請(qǐng)同學(xué)們?cè)谒娜藢W(xué)習(xí)小組內(nèi)交換自己對(duì)解本題的想法，并由記錄員把小組成員的解題過程進(jìn)行匯總、整理，展示在大卡上，由小組長解說本組成員的解題過程。

（組內(nèi)學(xué)生的解法得到其他組員肯定時(shí)，表現(xiàn)出自信，而對(duì)解本題有困難的學(xué)生也趁此機(jī)會(huì)請(qǐng)教同學(xué)。最后教師要求學(xué)生將作品展在規(guī)定的位置上）

3.采集成果 資源共享

師：好！同學(xué)們已經(jīng)將本組最好的一面展示出來了。現(xiàn)在是大家開始“采集成果”的時(shí)候了。請(qǐng)各位同學(xué)帶上筆記，到其他各組“采集”與本組不同的解法，由小組長“留守”在本組內(nèi)進(jìn)行解題過程的解說，限時(shí)10分鐘。

（“成果采集”中，學(xué)生會(huì)遇到各種不同的解法，有比自己想的更容易的方法，也有繁瑣復(fù)雜的解法）

師：10分鐘時(shí)間很快過去了，在這短短的時(shí)間內(nèi)，相信同學(xué)們收獲肯定不少。請(qǐng)大家用手勢(shì)告訴我，你掌握了幾種解法？（現(xiàn)在所有學(xué)生都掌握了3種以上的解法，都比自己原有的解法多）現(xiàn)在我們就來“曬一曬”這些解法。（檢測(cè)學(xué)生是不是在交互中真正學(xué)到東西）

師：（點(diǎn)了一名基礎(chǔ)稍差的學(xué)生）請(qǐng)問這位同學(xué)，你掌握了哪一種解法？

生1：我掌握了“列舉推測(cè)法”，它是以房間住滿時(shí)的定價(jià)和利潤作為“參照數(shù)”，以定價(jià)上漲而居住間數(shù)下降的規(guī)律推出答案的。我覺得這種方法比較容易、好理解！不過……這種解法要計(jì)算的比較多，想偷懶都不行（眾生笑，鼓掌。該生這一次的回答簡潔明了，還有自己的想法）

生2：（舉手，搶著說）運(yùn)算量不那么大的方法也有。剛才我看到了兩種方法有異曲同工之妙，它們都是用一元二次方程來解。（來到寫有這兩種解法的大卡邊）請(qǐng)大家看——

解1：設(shè)每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)間定價(jià)增加10x元/天，則空出房間x個(gè)。依題意得：

（180+10x-20）（30-x）=5 200。

整理得：

x2-14x+40=0；

解得：x1=4， x2=10。

當(dāng)x=4時(shí)，180+10×4=220。

當(dāng)x=10時(shí)，180+10×10=280。

答：當(dāng)每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)間定價(jià)為220元/天或280元/天時(shí)，賓館每天獲利5 200元。

解2：設(shè)每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)間定價(jià)為x元/天，則空出房間個(gè)。依題意得：

（x-20）（30-）=5 200。

整理得：

x2-5 000x+61 600=2；

解得：x1=220，x2=280。

答：當(dāng)每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)間定價(jià)為220元/天或280元/天時(shí)，賓館每天獲利5 200元。

大家發(fā)現(xiàn)這兩種解法有什么不同？（儼然一個(gè)小老師）

生3：一種是直接設(shè)元，一種是間接設(shè)元，我覺得間接設(shè)元算起來容易些。

師：這幾個(gè)同學(xué)說得都很好。（來到一個(gè)小組前）請(qǐng)你說說你們組原來已經(jīng)想到了哪些方法？經(jīng)過交互后又獲得了哪些新方法？

生4：我是我們小組今天的匯報(bào)員。我們組原來想到的方法是用間接設(shè)元法、直接設(shè)元法列一元二次方程，用二次函數(shù)的解析式表示兩個(gè)變量的關(guān)系。經(jīng)過與別組的交流后，新的收獲是列舉推測(cè)法，還有用列方程組的方法來解。

師：你原來想到的方法是什么？

生4：直接設(shè)元法。

師：你能給大家介紹“函數(shù)法”嗎？（教師再一次檢測(cè)學(xué)生的交互效果）

解：設(shè)空出x個(gè)標(biāo)準(zhǔn)間，賓館每天獲得的總利潤為y元。則y與x函數(shù)的關(guān)系式為：

y=（180+10x-20）（30-x），

即y=-10（x2-14x-480）（0≤x≤30）。

當(dāng)y=5 200時(shí)，

-10（x2-14x-480）=5 200。

解方程得：x1=4，x2=10。

當(dāng)x=4時(shí)，180+10×4=220。

當(dāng)x=10時(shí)，180+10×10=280。

答：當(dāng)每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)間定價(jià)為220元/天或280元/天時(shí)，賓館每天獲利5 200元。

生4：好的。（來到本小組的大卡前進(jìn)行解說）因?yàn)槔麧櫴请S著定價(jià)的改變而改變的，而定價(jià)的增加又導(dǎo)致房間空出的數(shù)量增加，所以我們認(rèn)為利潤隨著空閑房間間數(shù)的改變而改變。其中自變量為空閑的房間數(shù)，利潤是函數(shù)，可列出它們的函數(shù)關(guān)系式，之后再算出當(dāng)y=5 200時(shí)的x的值就是空出的房間數(shù)，再利用空出的房間數(shù)求出定價(jià)即可。

師：說得很詳細(xì)！把怎樣找出變量的過程都說出來了。同學(xué)們聽明白了嗎？（學(xué)生用約定手勢(shì)表示明白）

師：剛才我聽到生4說有用方程組來解的，我真想知道怎么解！這是誰想到的解法？

生5：老師，是我想到的。

師：好，就由你給大家解析吧。（讓原創(chuàng)學(xué)生說自己的解法——維護(hù)學(xué)生的“成就感”，保護(hù)學(xué)生的“專利權(quán)”）

解：設(shè)入住的標(biāo)準(zhǔn)間有x個(gè)，每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)間的定價(jià)為y元/天。依題意得：

（y-20）x=5 200，y=180+10（30-x）。

解方程組得：x1=26，y1=220； x2=20，y2=280。

答：當(dāng)每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)間定價(jià)為220元/天或280元/天時(shí)，賓館每天獲利5 200元。

生5：本題中的定價(jià)與入住的房間數(shù)都是未知量，于是我想到設(shè)兩個(gè)未知數(shù)分別表示它們，再利用利潤這個(gè)等量關(guān)系和定價(jià)的增加與空出的房間數(shù)之間的規(guī)律得出一個(gè)方程組，通過消元后可以化為一個(gè)一元二次方程，得出來的結(jié)果跟前面的解法是一樣的。

師：這也不失為一種好的解法，好在它把不易表示的一個(gè)關(guān)系拆分為兩個(gè)等量關(guān)系，有點(diǎn)化繁為簡的“味道”。

師：（來到一張展示的大卡前）我看到了一種比較特獨(dú)的解法，這是誰“干”的？（眾生笑）請(qǐng)?jiān)瓌?chuàng)者說說。

生6：我！我來解說一下吧。根據(jù)題意可知，利潤是隨著定價(jià)的改變而改變的，它們之間存在某種函數(shù)關(guān)系。我們學(xué)過的函數(shù)有一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)。那么，它們之間是哪一種函數(shù)關(guān)系呢？我根據(jù)表格的數(shù)據(jù)進(jìn)行了如下推理：

∴總利潤與定價(jià)不是一次函數(shù)的關(guān)系。

∵4800×180≠5040×200，

∴總利潤與定價(jià)不是反比例函數(shù)的關(guān)系。

因此，設(shè)總利潤y（元）與定價(jià)x（元/間·天）的函數(shù)關(guān)系式為：

y=ax2+bx+c。

把（180，4800），（190，4930），（200，5040）分別代入得：

1802a+180b+c=4800，1902a+190b+c=4930，2002a+200b+c=5040。

生6：推理后能肯定它不是一次函數(shù)也不是反比例函數(shù)，我再設(shè)二次函數(shù)的解析式來求。由于時(shí)間關(guān)系沒能求出最終結(jié)果。（有學(xué)生在底下唏噓：這些數(shù)看見都不想算了！）

師：這是對(duì)全班同學(xué)的挑戰(zhàn)，現(xiàn)在看看誰的“算功”最厲害，誰能在最短的時(shí)間內(nèi)算出正確的結(jié)果。（教師“撩”起了學(xué)生不服輸?shù)男睦恚瑢W(xué)生接受了“挑戰(zhàn)”）

生7：（迫不及待）我算得了：a=-，b=50，c=960，∴y=-x2+50x+960。

師：很好！答案確實(shí)就是這個(gè)。大家如果想知道這個(gè)同學(xué)是怎么算的，課后再與他交流算法吧。生6，二次函數(shù)的解析式求出來了，請(qǐng)你接著說下一步該做什么？

生6：令y=5 200，得一元二次方程，求出x的值。（有學(xué)生說道：這種解法真煩）

生7：我還是有點(diǎn)想不明白。它不是一次函數(shù)也不是反比例函數(shù)，為什么就一定是二次函數(shù)？（眾生竊竊私語，贊同這個(gè)說法）

師：這個(gè)問題提得很尖銳！誰能提出解決的辦法？

生8：如果表格中能多有幾個(gè)數(shù)對(duì)，可以將這些數(shù)對(duì)代入所求的解析式進(jìn)行檢驗(yàn)。如果這些數(shù)對(duì)也滿足解析式，那么就可以肯定它是二次函數(shù)了。

師：很好！加上生8的檢驗(yàn)方法，這個(gè)解法就完美了。相比之下，生6的解法確實(shí)與眾不同，運(yùn)算量也較大。不過，這種方法給我們提示了如何由表格中變量的數(shù)據(jù)去辨別三種函數(shù)的思路。在中考中，這樣的題型也時(shí)有出現(xiàn)。

4.總結(jié)歸納 提升認(rèn)識(shí)

師：同學(xué)們的解法真豐富，有一些解法是老師想不到的，真是“青出于藍(lán)而勝于藍(lán)”！通過這節(jié)課，我相信同學(xué)們都有了各自的收獲和想法，請(qǐng)大家暢所欲言。

生9：用表格進(jìn)行列舉推測(cè)容易理解，但不具一般性，較適用于填空題或選擇題，當(dāng)數(shù)據(jù)很大的時(shí)候就不易推測(cè)了。

生10：一元二次方程與二次函數(shù)是有聯(lián)系的，我個(gè)人比較欣賞“函數(shù)法”，它可以算出最大或最小利潤。任意給一個(gè)符合實(shí)際的利潤值，就可以很快算出相應(yīng)的定價(jià)。

生11：同一個(gè)問題可以有六種不同的解法，這些解法都各有千秋，讓我體會(huì)到交流學(xué)習(xí)的重要。

……

師：希望同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中注意培養(yǎng)自己一題多解的習(xí)慣，從不同角度去挖掘一道題目的知識(shí)價(jià)值，充分提高學(xué)習(xí)的效率。

【評(píng)析】學(xué)生在進(jìn)行了一年多的EEPO有效教育的學(xué)習(xí)方式訓(xùn)練后，無論是學(xué)習(xí)行為還是表達(dá)呈現(xiàn)都比較規(guī)范和熟練，單元組的形成水平也比較高，教師在課堂上也能恰當(dāng)?shù)胤揽罩v、防假聽、防花架子。在此條件下，教師在教學(xué)中若能合理利用“單元組”，必可充分發(fā)揮合作學(xué)習(xí)的效力。本案例中，對(duì)同一個(gè)問題進(jìn)行了“單元組”的內(nèi)部交互和“單元組”與“單元組”間的交互，學(xué)生由原來個(gè)人只想到1～3種解法上升到能掌握5～6種，實(shí)現(xiàn)了解法數(shù)量和質(zhì)量的跨越，開闊了學(xué)生的解題思路，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到進(jìn)一步的擴(kuò)張。

著名的教育專家關(guān)鴻羽說過：“教育就是培養(yǎng)習(xí)慣。”作為教師的我們，如果能在平時(shí)的數(shù)學(xué)課堂上注意訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生一題多解、一題多變、舉一反三、觸類旁通和善于交流的習(xí)慣，還怕自己的學(xué)生在茫茫題海中找不到方向嗎？

（責(zé)編 王學(xué)軍）