動力煤熱值期權的定價及Black—Scholes期權定價模型檢驗

【摘 要】煤炭燃燒熱值交易的提出，豐富了煤炭的交易品種；使煤炭交易更加科學化；從理論上將金融期權的理念擴展到實物期權并應用于煤炭熱值的交易中，使得消費者可以利用金融衍生品的固有特點進行套期保值，本文試用Black-Scholes模型對動力煤燃燒熱值期權進行科學的定價，這樣更加有利于完善煤炭市場體系、幫助煤炭現貨交易商實現現貨保值以及豐富投資者的投資品種與渠道。

【關鍵詞】煤炭熱值；期權；期權價格；波動率

一、Black-Scholes期權定價模型相關理論

布萊克—斯科爾斯假設條件：第一，在期權到最后期限前，標的資產無任何回報的時候，即沒有紅利、利息等。第二，存在一個固定的無風險的概率，投資者可以借助利率無限制的條件下進行貸出或者借入。第三，不存在任何影響收益的外部因素對過程產生影響，如繳稅、交易成本支出、交易保證金等。第四，所有的證券可以進行無限制的細分。第五，投資者可以對證券進行賣空操作。第六，環境中沒有無風險的套利條件。第七，標的物的變動符合相應的幾何布朗定律，在公式中=μ*dt+σdZ，ds所代表的是無窮小的標的物價格變化值；dt是針對與時間的參數代表無窮小變化值；是標的資產在每一個無窮小的變化區間內的平均收益情況；σ是價格過程的波動率，即連續計算收益的資產在單位時間內收益的標準差；dz則是0dt與方差為1dt在無窮小條件下的隨機變量。包括：（1）資產價格是連續變化的；（2）在整個期權生命期內，資產的預期收益和收益方差保持不變；（3）任何時間段的資產收益和其他時間段的收益互相獨立；（4）任何時間段資產的復利收益率服從正態分布，即log（）～N（μ（t-t）），σ2（t-t）。

二、模型的推導

1.相關知識補充。（1）正態和對數正態分布。一是均值為

μ，方差為σ的正態分布隨機變量x的密度函數為：f（x）=exp（-） （1）。如果正態變量的均值為0，方差為1，則稱為標準正態隨機變量，它的密度函數與分布函數分別為f（x）和F（x）表示，這里，f（x）=e， F（x）=edt。二是如果x是均值為μ，方差為σ的正態分布變量，那么稱Z=ex是對數正態分布的，其中μ=exp（μ+）且σ=exp（2μ+σ）exp（σ）-1。（2）布朗運動。第一，帶漂移的布朗運動是具有下列性質的隨機過程x（t），t≥0：一是任何增量X（t+s）-X（s）都是均值為μt，方差為σ的正態分布變量，μ和σ是確定的參數。二是對任何t10。（3）Ito引理。一是用Z（t）表示無漂移的標準布朗運動，即△t。設△Z表示時間改變△t后Z（t）的改變量，由布朗運動的性質（1），△t（t）=Z（t+△t）-Z（t）=ε，其中ε是標準正態隨機變量，當△t→0時，上面的關系可表達為微分形式：dZ（t）=ε （3）。一般的帶漂移的布朗運動（Wiener過程）X（t）可以寫成下面的隨機微分形式：dX（t）=μdt+σdZ（t） （4），其中μ是過程的漂移率，σ為方差。二是【Ito引理】設f（X，t）是連續的，有連續偏導數的非隨機函數，X（t）是由下式定義的隨機過程：dX（t）=a（X，t）dt+b（X，t）dz（t），其中dz（t）是方程（3）定義的標準Wiener過程，那么隨機過程f=f（X，t）有下面形式的隨機微分：

df=dt+dX（t）+b（X，t）dt

=（+a（X，t）+b（X，t））dt+b（X，t）dZ（t） （5）

注意：如果f只是X的一個變量的函數f=f（X），則同樣的導出Ito引理的結果是：df=（a（X，t）+b（X，t）））dt+b（X，t）dZ（t）。（4）幾何布朗過程的微分形式。考慮方程（4）定義的幾何布朗運動，其中X（t）的微分由方程（4）定義，取方程（5）中的y=f（X）=ex（t），a（X，t）=μ，b（X，t）=σ利用Ito引理，y的隨機微分形式為：dy=（μ+）dyt+σydZ，故 =（μ+）dt+σydZ（6）（其中=ex（t）=y，=ex（t）=y），y的漂移率和波動率分別是μ+與σ。

2.Black-Scholes期權定價模型。Black-Scholes期權定價模型采用的是典型的動態無套利均衡分析技術。在假設條件下，采取一種動態交易策略，來復制歐式買權到期末的現金流。即用△=份標的物股票的多頭（即買入）和無風險證券的空頭（即賣出）來復制一份期權，其中股票的價格為S，期權的價格為f=f（S，t），是股票價格S和時間t的函數，無風險證券的價值為L，即動態的保持：f=S-L，即L=-f+S。經過一段微小的時間dt，則有 dL=-df+dS （7）。因為f和L都是隨機過程，我們應用Ito引理來計算它的隨機微分：df=dt+dS+S2dt，dL=（--S2）dt。上式的右邊，隨機項Z不再出現，這意味著一份期權的空頭和△份股票的多頭能實現風險的完全對沖，而△的大小是動態調整的。所以，右邊的二者組合和與之等值的無風險證券是完全等價的，即組合的收益率應當等于無風險收益率rf，有rfdt，則dL=（--S2）dt=rfLdt=r（-f+S）dt，整理后得：+rfS+S2=rff。上面的拋物線偏微分方程稱為Black-Scholes方程，它刻畫了動態調整組合頭寸保持無套利均衡的規律。為了完成期權定價公式的推導，我們還要給出歐氏期權滿足得邊界條件：當t=T時，對于買權，有c=f（T）=max（S（T）-X，0）；對于賣權，有p=f（T）=max（X-S（T），0），其中X時期權指定得標的物的執行價格。根據邊界條件，可以倒向解出上述微分方程得初始值的表達式，即Black-Scholes期權定價公式：看漲期權 c=S（t）N（d1）-Xe-rf（T-t）N（d2），看跌期權 p=Xe-rf（T-t）N（d2）-S（t）N（-d1），其中是累計正態分布函數，而 d1= d2=d-σ。

注：B-S模型只解決了不分紅股票的期權定價問題，莫頓發展了B-S模型，使其亦應用于支付紅利的期權。

存在已知的不連續紅利假設某股票在期權有效期某時間t（即除息日）支付已知紅利Dt，只需將該紅利限值從股票價值S中除去，將調整后的股票價值S′=S-Dte-rT（帶入B-S中變型。如果在有效期內存在其他所得，依該法，減去得新公式：C= （S-Dte-rT（）N（d1）-Le-rTN（d2）

三、公式的檢驗

（1）該模型的使用需有一個重要前提，即：標的資產遵循幾何布朗運動。可以通過以下兩方面進行驗證。第一，利用伊藤引理可以得到：log-logS=log 服從均值為（μ*=）（T-t）（即μ（T-t）），方差為σ（T-t））的正態分布。第二，利用對數正態特性，也可以得到投資決策現時t與之后某一時刻T之間連續復利年收益的概率分布。將t與T之間年收益率定義為a，則連續復利年收益率也服從正態分布。S=Se，a=ln，a～Φμ-， 。（2）B-S模型應用條件檢驗的內容和意義。一是檢驗內容。作為標的資產的煤炭，其價格的變化是否遵循對數正態分布；連續復利收益率是否遵循正態分布。二是檢驗意義。通過對以上兩個方面的檢驗，可以驗證B-S模型的第一個假設條件，即標的資產遵循幾何布朗運動。有了這一假設的驗證，為在煤炭使用中運用B-S模型奠定了基礎，并提供了科學的依據。（3）B-S模型應用條件檢驗的工具和方法。SPSS是公認的最優秀的統計分析軟件包之一，具備多種統計分析方法。本文選用SPSS軟件，進行正態性檢驗。本文運用的是單樣本的K-S檢驗。該檢驗用于檢驗一組樣本觀測結果的經驗分布同某一指定的理論分布之間是否一致。K-S檢驗的基本思路是，將順序分類數據的理論累計頻率分不同觀測的經驗累積頻率分布加以比較，求出它們最大的偏離值，然后在給定的顯著性水平上（一般取0.05）檢驗這種偏離是否偶然出現的。

四、B-S模型應用條件檢驗過程和檢驗結果分析

（1）樣本的選取與數據整理。在選取樣本時，選取了環渤海動力煤均價，且動力煤的熱值為5500大卡，由于熱值是固定的，它的價格與動力煤的價格是正相關的，此時只分析動力煤的價格走勢。數據如表1及表2。

由以上的分析結果可知，各組樣本都高度符合：P>0.05（0.05為顯著性水平），即接受正態分布的原假設。結果表明，該方法中各組樣本基本遵循對數正態分布。（2）連續復利收益率正態分布的檢驗。由于B-S模型假設套期保值率是連續變化的，因此利率要使用連續復利。連續復利假定利息是連續支付的，因此用此模型進行期權估價時收益率使用連續復利計算。同樣采用K-S檢驗。經檢驗，P值為0.972，顯然其收益率也是基本遵循正態分布。（3）結論。根據SPSS軟件的檢驗結果，可以認為動力煤的價格基本遵循對數正態分布，即B-S模型中的幾何布朗運動假設，也就是說對于煤炭熱值期權可以使用B-S模型估價。作為檢驗的補充，年收益率也基本符合正態分布。

五、B-S模型實證分析

1.波動率。歷史波動率是基于過去的統計分析得出的，假定未來是過去的延伸，利用歷史方法估計波動率類似于估計標的資產收益系列的標準差。歷史波動率具體計算方法：（1）從市場上獲得動力煤在固定時間間隔（如每天、每周或每月等）上的價格。（2）對于每個時間段，求出該時間段末的動力煤熱值價格與該時段初的價格之比的自然對數。（3）求出這些對數值的標準差，再乘以一年中包含的時段數量的平方根（如，選取時間間隔為每天，則若扣除閉市，每年中有250個交易日，應乘以根號250），得到的即為歷史波動率。針對期權來說，標的物的波動率是影響其價值的重要因素之一。在其他參數不變的情況下，標的物價格波動越大，期權的價值也越大。

2.環渤海動力煤熱值期權價格計算。（1）環渤海動力煤熱值波動率計算。選取等時間間隔的數據如下表4所示：

對于選取的該時間段，可以得出動力煤熱值價格與該時段初的價格之比的自然對數分別為：0.001363327、0.042673141、0.030850776。它們的標準差為0.021275098，設一年中包含的時段數量為270，則波動率為0.349585531。（2）期權價格的計算。以上波動率計算數值為0.349585531，在這里取0.3。我們選取熱值價格為0.13元/大卡，假設行權價格為0.13元/大卡，股息收益率為0，到期時間為1年，可以利用excel表格求出其價格，如下圖1所示：

則其看漲期權的價格為0.0176元，看跌期權的價格為0.0131元。

參 考 文 獻

[1]蘇萌.布萊克—斯科爾斯期權定價模型的應用及適用性的擴展

[J].經濟論壇.28

[2]孫曉琳.建立基于Excel的期權定價模板.財會月刊（綜合）[J].2007（91）

[3]李志學，胡娟.油氣開發的實物期權特征及應用B-S模型的條件檢驗[J].統計與信息論壇.2008，23（7）：60～64

[4]宋志剛，何旭洪.SPSS16實用教程[M].北京：人民郵電出版社，2008：274～276