H—矩陣的預條件AOR迭代法收斂性

　　摘 要： 近年來，許多預條件子被運用于線性系統.討論了新的多參數一般下三角預條件子的AOR迭代法的收斂性.當線性系統的系數矩陣為H-矩陣時，得到了該預條件子下的AOR迭代法的收斂性定理.
　　關鍵詞： AOR迭代法 預條件子 H-矩陣 收斂性
　　1.引言
　　考慮線性系統Ax=b，其中A=（a）∈R，b∈R是已知的，x∈R是未知的.
　　不失一般性，令A=I-L-U，其中I是單位矩陣，-L和-U分別是A的嚴格下三角部分和嚴格下三角部分.考慮預條件線性系統PAx=Pb，其中P是非奇異矩陣.
　　文獻[1]考慮具有一般上三角形式的預條件子，給出當線性系統的系數矩陣為M-矩陣時預條件SOR型迭代法與經典SOR迭代法的收斂性比較定理.
　　考慮一般下三角形式的預條件子P=I+S，記D（β）=diag（1，β，β，β，…，β），β （i=2，…，n）是非負實數，S=D（β）S，m　　解決線性系統的經典AOR迭代法的迭代矩陣[2]為
　　T=（I-rL）（（1-ω）I+（ω-r）L+ωU），（1）
　　這里ω和r為實數，且ω≠0.
　　定義1.1[3] 如果一個n×n的矩陣A=（a）滿足i≠j時，a≤0，稱A為Z-矩陣；如果A是Z-矩陣且a>0，稱A為L-矩陣；如果A是L-矩陣且A≥0，稱A為M-矩陣.
　　定義1.2[4] 如果A=（a）是n×n的矩陣，稱〈A〉=（）是A的比較矩陣，其中i=j時，=|a|，i≠j時，=-|a|.如果〈A〉是一個非奇異M-矩陣，則稱為H-矩陣.
　　引理1.1[5] 設是Z-矩陣，則A是M-矩陣當且僅當存在正向量u=（u，…，u）>0，使得Au>0.
　　引理1.2[6] 令A是H-矩陣，則ρ（T）<1.
　　2.主要結論
　　令D，-L，-U分別是A的對角部分﹑嚴格下三角部分和嚴格下三角部分，則
　　A=（I+S）A=D-L-U.（2）
　　對應的預條件AOR迭代法的迭代矩陣為
　　=（D-γL）[（1-ω）D+（ω-γ）L+ωU].（3）
　　定理2.1 令A是對角元為1的H-矩陣，a≠0（i=2，…，n），則
　　β′=1+>1，i=2，…，n
　　證明：因為A是H-矩陣，由定義1.2知〈A〉是非奇異M-矩陣，且〈A〉=I-|L|-|U|≤I，得〈A〉≥I≥0，即||〈A〉||≥1，則β′>1，i=2，…，n.
　　定理2.2 令A是對角元為1的H-矩陣，是（5）中給出的迭代矩陣，a≠0（i=2，…，n），0≤β≤β′，0≤γ≤ω≤1，ω≠0，則A是H-矩陣，且ρ（）<1.
　　證明：記A=（），當i=1時，=a；當i=2，…，n時，=a-βaa.令r=〈A〉e，其中e=（1，1，…，1）.因A是H-矩陣，由定義1.1和1.2得r≥0，〈A〉r=〈A〉〈A〉e=e，記r=（r，r，…，r），由文獻中的引理3.1得（〈A〉r）=r-|a|r=1>0，則（〈A〉r）=r-|a|r=1>0.令（〈A〉r）（i=2，…，n）是向量〈A〉r的第i個元素，則
　　（〈A〉r）=|1-βaa|r-|a-βaa|r
　　≥r-β|aa|r-|1-β||ar|-|a|r-β|aa|r
　　=（〈A〉r）+|a|r-β|a|[-（〈A〉r）m+r]-|1-β||a|r
　　=1+β|a|+[（1-β）-|1-β|]|a|r
　　當0≤β≤1（i=2，…，n）時，有（〈A〉r）≥1+β|a|>0.
　　當1<β<β′（i=2，…，n）時，有
　　（〈A〉r）≥1+β|a|+[（1-β）-|1-β|]|a|r
　　=1+β|a|+[（1-β）-|β-1|]|a|r=1-|a|r-β|a|（2r-1）
　　>1+2|a|r-（1+）|a|（2r-1）
　　≥（1+|a|）-（2||〈A〉||-1）|a|
　　=（1+|a|）-（1+|a|）=0
　　因此〈A〉r>0.由引理1.1知〈A〉是非奇異M-矩陣，因此A是H-矩陣，由引理1.2得ρ（）<1.
　　參考文獻：
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　　基金項目：2011年衡水學院科學研究項目（201102