新課程背景下“用二分法求方程近似解”的教學思考

　　摘 要： “用二分法求方程的近似解”是高中《數學》必修1中新增加的內容。它充分體現了函數與方程之間的聯系，同時也體現了算法思想。本文對“二分法”作了深入探討，提出了“二分法”教學設計思路，豐富了高中數學新課程資源。
　　關鍵詞： 二分法 近似解 精確度
　　《普通高中課程標準實驗教科書數學必修1》新增加了“二分法求方程的近似解”。通過用二分法求方程近似解，深化了學生對函數和方程思想的認識，增強了學生用函數觀點處理問題的意識，也使學生逐步了解算法思想。因此，在學習“方程的根與函數的零點”的基礎上學習“用二分法求解方程的近似解”是非常必要的。在“用二分法求方程近似解”的教學過程中，需要思考以下幾個方面：（1）為什么要學習二分法？（2）二分法的由來？（3）二分法的引入、近似解、精確度、二分法定義及步驟如何處理？
　　一、學習二分法的緣由
　　隨著知識系統的不斷更新和發展，求方程的近似實數解在實際應用中越來越重要。根據實際問題列出的方程多種多樣，許多方程就沒有公共解法。其實，實際問題對解的需求并不是嚴格的精確，而是滿足一定的精確度就行，所以人們更關心的是求方程近似解的方法，計算機的廣泛使用使得近似計算更加重要。二分法是簡單有效的近似計算方法。
　　用二分法求方程近似解的過程中蘊含著“算法思想”。算法是數學及其應用的重要組成部分，是計算科學的重要基礎。新教材有目的、有意識地將算法思想滲透在高中數學的有關內容中，不斷加深對算法思想的理解，體會算法思想在解決問題和培養理性思維中的意義和作用。二分法正是這一思想的體現。
　　二、二分法的由來
　　二分法是在證明函數的零點存在定理中產生的，所以我們有必要向學生簡單介紹一下這個定理的證明思路。雖然證明是學生不能掌握的，但是證明思路學生是能夠理解的，就是一個“逐步逼近”的思想。這個證明教師是應該掌握的，所以教師應合理安排教學過程，給出這個定理的證明過程供學生參考。因為這個證明的思路是用二分法構造閉區間套，將函數的零點給“套”出來，所以這種求函數零點亦即求方程的實根的方法叫做“二分法”。我們設想讓二分法無限地進行下去，就能得到函數零點或方程實根的精確值。但實際是不可能無限進行下去的，所以我們只能在誤差要求的范圍內完成。
　　三、教學過程中的幾個問題處理
　　1.二分法的引入
　　高中數學課程應力求使學生體驗數學在解決實際問題中的作用、數學與日常生活及其他學科的聯系，促進學生逐步形成和發展數學應用意識，提高實踐能力。所以，從實例引入能充分調動學生的學習興趣，引起學生的求知欲。運用實例是為引入二分法的原理做準備，也說明二分法原理源于生活，并作用于生活。可激發學生原有知識，促進新舊知識相互作用，有意識地培養學生的應用意識。進而，體現新課程下的基本理念思想。
　　2.近似解的處理
　　在學習這節課的內容時，首先應該明確什么是方程的近似解，在此基礎上才能促使學生更容易地理解和掌握用二分法解方程近似解。下面就一個具體的問題“求方程x-2x-1=0的一個近似解（精確到0.1）”，對什么是方程的近似解做討論。上述方程的近似解有兩種不同的理解：
　　（1）如果x是方程x-2x-1=0的一個解，那么當|x-x|<0.1時，x就是方程的近似解；
　　（2）方程x-2x-1=0的近似解就是x精確到小數點后1位的近似值。
　　教材在介紹二分法的時候按第一種方式理解方程近似解，在做例題的時候則是按第二種方式理解方程的近似解。從理論上講，按第一種方式理解，方程的近似解有無窮多個；而按第二種方式理解，方程的近似解是唯一的。從實際求解的角度，按第一種方式理解，只要當包含x-2x-1=0解x的區間[a，b]的長度b-a<0.1時，[a，b]中的每個數x都滿足|x-x|<0.1，因此，都可以看做方程x-2x-1=0的近似解。按第二種方式理解，就有一些困難，因為我們不知道方程解x的確切位置，也就不能根據x來確定它精確到小數點后1位的近似值。
　　3.精確度的處理
　　教科書直接給出了近似解的概念，通過求方程2x+3x-3=0的一個實數解，精度為0.01為例，并沒有對精確度作對比認識，所以學生在學習過程中，總會有意想不到的問題出現。在教學過程中，精確度的說明是一個無法避免的問題，而且需要和初中學習的“精確到”有所區別。這也就是教材安排和教學設計的不同之處。
　　精確度：近似數的誤差不超過某個數，就說它的精確度是多少，即設x為準確值，x是精確度為ξ的x的一個近似值。精確度簡稱精度。用二分法求方程的近似解時，只要根的存在區間（a，b）滿足|a-b|<ε，兩端點或區間內的任意一數均可作為方程的近似解。
　　精確到：按四舍五入的原則得到準確值x的前幾位近似值x，x的最后一位有效數字在某一數位，就說精確到某一數位。如：π=3.1415926…，若取3位有效數字，則x=3.14，精確到0.01（即百分位）；若取5位有效數字，則x=3.1416，精確到0.0001（即萬分位）。特別地，若已知x精確到@的近似值是x，則可知x的范圍是[x-ξ，x+ξ]。用二分法求方程精確到@的近似解，根的存在區間兩端點精確到ξ的近似值必須相同，若不相同，仍需繼續二分下去，直到符合要求為止。
　　4.二分法定義及步驟的處理
　　用二分法求方程近似解的思想脈絡就是將方程問題轉化為函數問題，然后利用函數性質解決問題。在二分法的定義及其解法的教學中，應該以具體問題為載體，讓學生逐漸意識到和初步會用函數的觀點解決一些問題。通過在實例，引導學生獲得解決問題的思路，在此過程中，總結出二分法的定義和求解步驟。
　　二分法（bisection）是指對于在區間[a，b]上連續不斷且f（a）·f（b）<0的函數y=f（x），通過不斷地把函數f（x）的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法。
　　四、教學建議
　　利用多媒體輔助教學手段，創設問題情境，實例引入二分法，通過例題，師生互動，引導學生自主探究二分法的原理與步驟。
　　教學過程中應注意：①由淺入深、循序漸進地建立函數與方程的關系。在用二分法求方程近似解的過程中，通過函數圖像和性質研究方程的解，體現函數與方程的解。②讓學生在求解方程近似解的實例中感知二分法思想，認識二分法的價值所在。③用流程圖表述利用二分法求方程實數解的過程。④利用科學計算器求解。掌握二分法只是掌握了求解的算法，具體計算往往需要用計算工具，但是盡管使用了科學計算器，求一個方程的解也是很費時的，學生容易急躁和出錯，因此要引導學生踏實學習，認真做