初中數學概念、定理、判定的教學探索

摘 要： 數學知識的一切基礎都源于概念、定理、判定的學習和應用，學生的思考能力不是一兩天就能培養出來的，衡量學生是否掌握概念、定理，不是在于是否能說能背，而是看能否在具體的情景，問題中作出正確的判斷、解釋和應用。初中數學概念、定理、判定的教學，應當建立在遵循學生學習數學的心理規律、情感態度與價值觀的基礎上，注意巧妙地設計一些基礎題，創造性地使用教材。

關鍵詞： 概念 定理 判定 初中數學教學

一、問題的提出

縱觀2010年全國各地的中考數學試卷，注重體現新課程的理念，對基本概念定理本質的理解，以及考查對概念定理本質的遷移能力。例如，2010年佛山市高中階段招生考試數學試卷第24題，題目如下：

新知識一般有兩類：第一類是一般不依賴其他知識的新知識，如“數”“字母表示數”這樣的初始性知識。第二類是在某些舊知識的基礎上以聯系、拓廣等方式產生的知識，大多數知識屬于這一類。

（1）多項式乘以多項式的法則，是第幾類知識？

（2）在多項式乘以多項式之前，我們學習了哪些有關知識？（寫出三條即可）

（3）請用你已有的有關知識，通過數和形兩個方面說明多項式乘以多項式法則如何獲得的？（用（a+b）（c+d）來說明）

該題目注重考查學生對概念公式法則本質的理解和領悟能力，然而一部分考生卻無法領略其題目的命題意圖。該題看似繁難，全部是文字，其實只要教師在教學過程中，注意教學方法，注重引導學生關注知識的生成過程，學生就很容易領悟并正確解答出來。

二、注重數學概念、定理、判定教學的重要性

什么是數學？《初中數學課程標準（實驗稿）》指出：“數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程?！薄皵祵W的概念和定理等雖然是一些語言和符號，但它們代表了確定的意義，這些意義是數學家們根據對客觀事物屬性的感知進行思維的結果，也是一種表達形式。”（《現代數學教育學第110頁》）只有正確理解和掌握數學概念、定理、判定，才能有效地進行判斷、解釋，推理、運算和解決實際問題。

1.數學概念、定理、判定的教學，是培養學生學習能力的重要前提。

教師在數學教學過程中，要關注學生的學習過程，培養學生終身學習的能力，讓學生當做數學學習的主人。這要求學生要把理解和掌握數學概念定理與在實踐中運用概念定理結合起來，在現實中理解和掌握概念，在實踐中運用概念，在運用中對概念加深理解。

2.數學概念、定理、判定的教學，是引導學生解決一切數學問題的先決條件。

學生理解和掌握數學概念的過程是一個認識的過程，因此，數學概念的教學必須遵循認識論的規律，理解是對象本質和規律的認識，是學生掌握知識的核心環節。我在教學過程中認真閱讀《新課程標準》，潛心鉆研教材，大膽嘗試教改，及時總結教學經驗。聯系現實，關注概念的形成過程。新課程標準指出：數學概念教學，要關注概念的實際背景與形成過程，讓學生經歷知識的形成過程。理論聯系實際是辯證唯物主義認識論的基本要求。因此，在數學概念教學中要密切聯系數學概念的現實原型，通過學生日常生活中常見的實例、實物、模型等，讓學生辨別—觀察—思考—討論—歸納，在感性認識的基礎上逐步建立易混淆的概念之間的相同點和不同點。

三、初中數學概念、定理、判定的教學建議和看法

1.遵循學生學習數學的心理規律，情感態度與價值觀，提供恰當的生活材料，讓學生感到數學源于自己周圍生活，從而感覺到非常親切，達到快樂學習，快樂接受的效果。

數學來源于生活，又服務于生活。在教學的過程中應使抽象的數學概念、定理、判定成為看得見、摸得著、想得來的東西。這樣既可以幫助學生理解掌握概念、定理、判定，又可以激發學生的學習興趣。

例如，《數軸》概念的教學。教師創設了這樣的問題情境：通過課件演示溫度計讀數，問題1：溫度計是我們日常生活中用來測量溫度的重要工具，你會讀溫度計嗎？請你嘗試讀出圖中三個溫度計所表示的溫度？問題2：在一條東西向的馬路上，有一個汽車站，汽車站東3m和7.5m處分別有一棵柳樹和一棵楊樹，汽車站西3m和4.8m處分別有一棵槐樹和一根電線桿，試畫圖表示這一情境。

問題的設計給學生提供了一個充分探索“數軸”概念的機會。數學概念、定理、判定的教學，要回歸教育的本源，貼近學生數學化發展需求，才能滿足全面實施數學素質的要求。初中學生好奇心強，只有遵循學生的心理規律和認識基礎，才能使得學生更加容易掌握新知識。

2.文字語言、符號語言、圖形語言的最佳結合，達到直觀和抽象相結合的效果。

例如，教學《探索三角形全等的條件（一）》，教師提出問題后，學生采取各自解決問題的方案，通過畫圖、觀察、比較、推理、交流，在條件由少到多的過程中逐步探索出最后的結論：三邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”。之后，很多教師就開始讓學生做練習了。其實，還可以讓學生進一步通過畫圖交流找出如何把這個判定用圖形語言和符號語言直觀地表達出來，情況如下：

在△ABC和△A′B′C′中

AB=A′B′BC=B′C′AC=A′C′

所以，ABC≌A′B′C′（SSS）

在這個判定的教學中既引導學生體驗了分類討論的思想，又引導學生運用了數形結合的思想去研究幾何的學習。有了這個圖形語言、符號語言的結合，課本里的文字語言就顯得更直觀了，能讓學生更加深刻地理解數學知識點。教師在教學過程中應重視數學圖形及數學本學科的特有符號語言的應用。一方面，能夠增加數學的趣味性，提高學生對數學的學習興趣。另一方面，結合圖形和符號理解相關概念、定理、判定，能夠把數學的邏輯性形象地展現出來，把邏輯思維和形象思維結合起來，能夠達到事半功倍的效果。

3.給學生充分的思考空間，類比其他概念、定理、判定的學習方法，認識概念、定理、判定的系統性和層次性，達到靈活應變，對概念有完善的認識效果。

例如，《探索三角形的相似》，被安排在八年級下冊第4章（北師大版）。在學習之前，學生已經具備的知識基礎是，在七年級下冊第五章《三角形》里，已學習過三角形的基礎知識，掌握了基本的概念，而且已經掌握了探索判定三角形全等的方法；在本章前面幾節課中，又學習了線段的比，黃金分割，形狀相同的圖形，相似多邊形，相似三角形，并理解了它們的概念。因此，教師完全可以通過課本已經提出的一些引導性的問題，加以適當引導：

（1）對應角相等，對應邊也相等的兩個三角形全等，你還記得三角形全等的其他判別條件嗎？當時，你是怎樣探索出來的？

（2）你認為判別兩個三角形相似至少需要哪些條件？

（3）如果兩個三角形有若干個角對應相等，那么至少有幾個角對應相等就能保證這兩個三角形相似？

通過以上問題，給充足的時間讓學生去思考，放手讓學生探索，這樣知識的系統性在學生的探索和歸納中不知不覺得以生成。教學是由一系列相互聯系而又漸次遞進的課堂組成，因而具體的課堂教學也應滿足于整個數學教學的遠期目標，應該與具體的課堂教學任務產生實質性聯系。教師在教授概念、定理、判定時，一定要放慢教學節奏，讓學生有充分的時間和空間加以思考和理解。讓學生真正領略數學知識內在的聯系，為概念、定理、判定的正確運用打下良好的基礎。

4.巧妙設計一些基礎題，加深理解，鞏固。

對于教師而言，每天或許有兩、三個小時的時間研究數學作業；對于學生而言，每天可能只有一節課左右的時間思考數學作業。因此，精心選擇或設計作業就顯得非常重要。教材提供的實例是經過精雕細琢的，特別強調了典型性和豐富性，但是，在教學過程中還是要注意創造性地使用教材，將前后知識聯系起來，最好能引起學生認知的沖突。

例如，北師大版七年級上冊《絕對值》，學了“兩個絕對值比較大小，絕對值大的反而小”之后，如果只布置：比較大小（1）-0.5，-■；（2）-■，-■。類似這樣的題目，學生經過模仿大都可以做出來。但是，摻入一些前面的知識練習，那就很容易看出學生是否真的理解和掌握了現在所學的知識。如，加上（3）-3，7；（4）0，-2，等等。有些學生因為思維上的定勢，會這樣解第三題：因為|-3|=3，|7|=7，且3<7，所以-3>7，栽了一個大跟斗。通過這樣設計題目，教師可以及時地了解，哪些學生真的理解了自己所學的新知識。學生也意識到，每一個原理都是有其適用范圍的。這樣及時地激起學生的認知沖突，加深了對知識的理解和鞏固。

學生要全面地了解一種新的知識，是需要從不同角度，不同層次去理解、觀察、分析、綜合的，所以設計題目時要注意新舊知識聯系起來，同時最好有多種解題方法的題目，或者是例題的變式設計，等等。

四、初中數學概念定理判定的教學過程中需要注意的問題

1.提供生活中的問題不能過于煩瑣。

既要簡化情景，開門見山，又要貼近學生的《最近發展區》。教學活動應適合學生的年齡特點，激活學生的思維，激發學生的興趣。

例如，在上八年級上冊《螞蟻怎樣走最近》這節課時，這樣設計引入新課，屏幕顯示一張校園的示意圖《我們的校園》：

師：從后門走到前門怎么走才最近（假如可以任意走）？

學生：直走最近。

師：為什么？

學生：兩點之間線段最短。

然后，教師板書課題。這種引入方式非常直觀，校園的示意圖，既是學生最熟悉的，怎樣走最近又是學生非常容易找到的，可以激發學生的學習興趣，增強信心。在給學生復習了“兩點之間線段最短”的同時，也給學生暗示了新的知識可能與這個知識有關。同時將平面之間的兩點之間的距離和立體之間的兩點之間的距離有機地結合了起來。

2.文字語言，符號語言，圖形語言的結合可以放手去讓學生自己探索，自己去畫圖，教師不要一手包攬。

每一個概念定理判定都是數學家智慧的結晶，教師要在教學的過程中，營造創新氛圍，讓學生親自體驗數學家的創造性思維進程，指導學生自主地建構新概念，提高學生的辨析能力，組織能力，表達能力，發展學生的創新能力。

3.教師本身要抓住概念、定理、判定的本質和實際意義，抓住思想主線。

數學教學要“講背景，講思想，講應用”。數學中的概念、定理、判定，有些是互相聯系、互相影響的，要善于引導學生把有關概念串起來，注意引導學生歸類比較，分析它們的從屬關系，內涵和外延、所反映的思想和方法、歷史背景和發展、聯系、地位作用和意義等。

4.鞏固練習注意分層性、梯度性，以在知識形成的基礎上促進知識的同化。

下面以《三角形的中位線》的教學這一節課說明：

首先引進了三角形的中位線的概念之后，我安排了兩道鞏固概念、加深印象的題目：如圖（1）

①如果D、E分別為AB、AC的中點，那么DE為△ABC的？搖？搖？搖 ？搖。

②如果DE為△ABC的中位線，那么D、E分別為AB、AC的？搖？搖 ？搖？搖。

在得出三角形中位線定理“三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半”之后，我安排了四道層層深入的題目：

（1）已知三角形三邊長分別為6，8，10，順次連接各邊中點所得的三角形周長是？搖？搖 ？搖？搖；如果△ABC的三邊的長分別為a、b、c呢？？搖？搖 ？搖？搖。

（2）你能將任意一個三角形分成四個全等的三角形嗎？

（3）如圖（2）若△ABC周長為26，面積為34，線段DE為△ABC的中位線，F為BC的中點，則△DEF的周長為？搖？搖？搖 ？搖，面積為？搖？搖 ？搖？搖。

（4）①如圖（3）：A、B兩地被池塘隔開，現要測量出AB兩地的距離，給你的工具只有皮尺，你能想辦法測量出來嗎？②小明是這樣做的：先在AB外選一點C，然后測出AC，BC的中點M，N，再測出MN的長，由此他就知道了AB間的距離。你知道他是怎么算的嗎？你能設法驗證嗎？

每一本教材，編者都有其意圖，教師應讀懂編者的意圖，并創造性地利用教材。根據教學、學生的認知情況設計題目，注意練習的分層性、梯度性，更加有利于學生對知識的掌握和理解。

五、結語

全日制義務教育《數學課程標準》指出，數學“能夠幫助人們處理數據，計算，推理和證明，數學模型可以有效地描述自然現象和社會現象；數學為其他學科提供了語言、思想和方法，是一切重大技術發展基礎；數學在提高人的推理能力、抽象能力、想象力合創造力等方面有著獨特的作用。”而這一切的基礎都源于概念、定理、判定的學習和應用。總之，學生的思考能力不是一兩天就能培養出來的，衡量學生是否掌握概念、定理，不是在與是否能說能背，而是看能否在具體的情景、問題中作出正確的判斷、解釋和應用。

參考文獻：

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[2]全日制義務教育數學課程標準.北京師范大學出版社.

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