三角恒等變換的技巧及其應用

　　一、技巧
　　1.變角
　　例1：求證：-2cos（α+β）=
　　證明：∵2α+β=α+β+α
　　∴sin（2α+β）-2cos（α+β）sinα
　　=sin［（α+β）+α］-2cos（α+β）sinα
　　=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα-2cos（α+β）sinα
　　=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα
　　=sin（α+β-α）
　　=sinβ
　　∴-2cos（α+β）=
　　評析：“角”是三角函數的基本元素，研究三角恒等變換離不開“角”的變換.對單角、倍角、和角、差角等進行適當的變形轉化，往往能起到化難為易、化繁為簡的作用.
　　2.分類
　　例2：化簡cos（-2x）+cos（+2x），其中k∈Z.
　　解析：（1）當k=4n（n∈Z）時，
　　原式=cos（2nπ-2x）+cos（2nπ+2x）
　　=cos2x+cos2x
　　=2cos2x
　　（2）當k=4n+1（n∈Z）時，
　　原式=cos（2nπ+-2x）+cos（2nπ++2x）
　　=cos（-2x）+cos（+2x）
　　=sin2x-sin2x
　　=0
　　（3）當k=4n+2（n∈Z）時，
　　原式=cos（2nπ+π-2x）+cos（2nπ+π+2x）
　　=cos（π-2x）+cos（π+2x）
　　=-cos2x-cos2x
　　=-2cos2x
　　（4）當k=4n+3（n∈Z）時，
　　原式=cos（2nπ+2π--2x）+cos（2nπ+2π-+2x）
　　=cos（-2x）+cos（+2x）
　　=-sin2x+sin2x
　　=0
　　評析：不少三角恒等變換問題中，都含有特定的字母常數，對特定的字母或常數恰當地進行分類討論，往往能幫助我們快速解題.
　　3.降次
　　例3：求使函數f（x）=sinx+cosx+sin4x-為正值的x的集合.
　　解析：f（x）=sinx+cosx+sin4x-
　　=+cos4x+sin4x-
　　=sin（4x+）+
　　由sin（4x+）+＞0，
37096029ee6a4d9000ca5bb464dcfd2c　　得sin（4x+）＞-，2kπ-＜4x+＜2kπ+，
　　∴-＜x＜+，k∈Z.
　　故使函數f（x）=sinx+cosx+sin4x-為正值的x的集合為{x|-＜x＜+，k∈Z}.
　　評析：對于某些含有高次（二次或二次以上）的問題，我們常常利用相關公式將高次三角式低次化，以達到解決問題的目的.
　　二、應用
　　1.求值
　　例4：已知sinα-sinβ=-，cosα-cosβ=，α、β為銳角，求：cos（α-β）的值.
　　解析：將sinα-sinβ=-及cosα-cosβ=兩式平方后再相加，可得2-2（sinαsinβ+cosαcosβ）=，故cos（α-β）=.
　　2.證明
　　例5：已知A+B=45°，求證：（1+tanA）（1+tanB）=2.
　　證明：（1+tanA）（1+tanB）=1+tanAtanB+tanA+tanB
　　=1+tanAtanB+tan（A+B）（1-tanAtanB）
　　=1+tanAtanB+tan45°-tan45°tanAtanB
　　=2
　　3.化簡
　　例6：化簡5sinα+cosα+2sin2α.
　　解析：由sinα=，cosα=，可得
　　原式=5×+×+2sin2α
　　=2sin2α-2cos2α+3
　　=4（sin2α-cos2α）+3
　　=4sin（2α-）