數學模型方法在排列組合中的應用

　　摘 要： 排列組合是中學數學的重要組成部分，有著廣泛的應用性，它具有理論性強，對邏輯思維要求高，思想方法獨特靈活等特點.通過構造排列組合實際問題模型解題，方法新穎、獨特，可幫助學生多角度地思考問題，培養思維的深刻性、靈活性，激發學生的創造力，形成創新意識.本文分析了多種排列組合中的數學模型，幫助同學們更快更準確地解決排列組合問題.
　　關鍵詞： 數學模型 排列組合 應用
　　排列組合是中學數學的重要組成部分，有著廣泛的應用性，這一方面的問題解決已成為數學教育關注的一個熱點.但由于它應用性強，具有題型多變，條件隱晦，思維抽象，分類復雜，問題交錯，易出現重復和遺漏，以及不易發現錯誤等特征，所以學生在學習這部分內容時經常碰到不少困難.而數學模型方法（Mathematical modelling method簡稱MM方法）在處理一些排列組合問題中有著它獨特的優勢，可以克服傳統方法中導致學生易犯錯的情況，具有很高的應用價值.
　　所謂MM方法，就是將所考察的實際問題轉化為一個具體數學問題，構造出相應的模型，通過對模型的研究和解答，問題得以解決的一種數學方法.其基本過程可用下面的框圖來表示：
　　構造模型的關鍵是對實際問題進行抽象概括轉化，抓住問題實質.本文結合具體例子，介紹幾種排列組合問題中常見的數學模型.
　　一、不等式（方程）組模型
　　在解決某些排列組合問題時，我們可以先設定一些未知數，然后把它們當做已知數，根據題設本身各量間的制約，列出等式，解方程即可.
　　例1：一個口袋內有4個不同的紅球，6個不同的白球，若取一個紅球記2分，取一個白球記1分，從中任取5個球，使總分不少于7分的取法有多少種？
　　解：設取x個紅球，y個白球，則x+y=52x+y≥7（0≤x≤4，0≤y≤6）
　　∴x=2y=3或x=3y=2或x=4y=1
　　符合題意的取法種數有CC+CC+CC=186種.
　　二、樹形圖模型
　　某些實際問題常沒有提供數學運算的對象，不易求解.為使其轉化為數學問題處理，可將問題中需要考察的某些對象或狀態進行處理，通過建立模型去解決.畫“樹形圖”、“框圖”等手段就能使一些復雜的排列組合問題直觀化，從而尋求解題途徑，但此法由于結果的正確性難于檢驗，因此常常需要用不同的方法求解來獲得檢驗.
　　例2：三人互相傳球，由甲開始傳球，并作為第一次傳球，經過5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有（?搖?搖 ）.
　　（A）6種 （B）8種 （C）10種 （D）12種
　　解：該題較新穎，要在考試的較短時間內迅速獲得答案，有一定的困難.但是我們如果能夠結合題意，構造出一張傳球的樹形圖，那么問題也就不會顯得那么復雜了.
　　由上圖可知甲開始傳球，第一次傳球給乙經過五次傳遞最后回到甲手中共有5種方法，同理如果甲第一次傳球給丙的話也有五種，所以答案是C.
　　三、解析幾何模型
　　利用數形結合的思想為排列組合問題構造解析幾何模型，可以把代數問題轉化為比較形象的幾何問題，便于解答.
　　例3：設A={-8，-6，-4，-2，0，1，3，5，7，9}，從A中任取兩個元素構成向量=（a，b），（a≠b且b≠0），則能組成模大于5的不同向量的個數為多少？
　　解：由題設知a≠b，b≠0；根據向量模的幾何意義，結合補集思想，只需求出以原點為圓心，5為半徑的圓上及圓內所包含的以A中元素為橫縱坐標的點的個數，然后從A中所有元素組成的不同坐標對應的點中除去即可.
　　圓內及圓上的點有4×3+5=17個（不含x軸上的5個點），滿足a≠b，b≠0的所有點有C?C=81個（不含x軸上的10個點），所以滿足題設的點共有C?C-（4×3+5）=64個.
　　四、立體幾何模型
　　在學習了立體幾何與排列組合知識并對立體圖形有充分的認識后，我們可以利用典型的空間模型與排列組合完美地結合起來，就能在處理相關方面的問題時帶來許多方便.
　　例4：A、B、C、D為海上的四個小島，要建三座橋，將這四個島連接起來，不同的建橋方案共有多少種？
　　分析：在三棱錐A-BCD中，頂點A、B、C、D表示小島A、B、C、D，棱（包括底邊）表示橋.因同一平面上的三條棱不能將四個島連接起來，因此，根據題意，不同的連橋方案有：C-4=16種.
　　五、多位數模型
　　很多“數數”問題的解決，如果能跳出題設所限定的“圈子”，根據題目的特征構思設計出一個等價轉化的途徑，就可以使問題的解決呈現出“柳暗花明”的格局.多位數模型就很好地為我們詮釋了這樣一個思想.
　　例5：同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？
　　分析：建立數學模型轉化為數學問題：用1、2、3、4這4個數字組成沒有重復的四位數，其中1不在個位，2不在十位，3不在百位，4不在千位的四位數共有多少個？那么問題就容易解決了.由于答案數字也不大，我們可以一一列舉出9個滿足題意的四位數，所以四張賀年卡不同的分配方式共有9種.
　　六、分球入盒模型
　　例6：在某個城市中M、N兩點之間有整齊的道路網，如圖所示，若各個小矩形的邊都表示街道，從M到N處要使路程最近，則共有多少種走法？
　　分析：把上圖2×4的方格看成一張地圖，每個小矩形的邊當成一步，則從M到N至少要走6步，其中必須向北走2步、向東走4步.我們看如下的模型：將所走的6步用6張卡片表示，若卡片上寫“北”字則表示向北走，現將2張寫有“北”字的卡片和4張寫有“東”字的卡片分別放入6個小盒子中，每個盒子里放一張，每一種放法對應著一種走法.如這樣一種放法：“東、東、東、北、北、東”則表示“從M處向東走3步，再向北走2步，然后向東走一步到N”.在這些卡片中只要把寫有“北”字（或“東”字）的卡片放好，余下的盒子里每一個放一張“東”（或“北”）即可，放法有C=15種或C=15種（卡片上只要字同則認為無區別）.
　　由此推廣：將上例中的2×4個方格推廣到m×n個方格，這時從M到N的最短路程的走法是：C或C.
　　回顧上述幾個例題的解答過程，我們可以看到一個共同的特點，就是利用一一對應關系將一種不易直接求得其數目的計數模式轉化為另一種易于計算的模式，從而收到了簡化問題的效果.數學模型方法就是這樣一種處理數學理論問題的經典方