兩異面直線間距離公式的簡易證明

　　摘 要： 本文借助向量的數量積，向量積和混合積，以及點到平面的距離公式，給出了空間兩異面直線間距離公式的兩個簡易證明.
　　關鍵詞： 異面直線 公垂線 向量積 數量積 混合積
　　1.引言
　　在解析幾何教學中，關于空間兩異面直線的內容主要討論兩個方面的問題，一個是討論兩異面直線的公垂線的方程［１］，其中兩異面直線的公垂線是指與兩條異面直線都垂直相交的直線，文獻［4］通過具體實例給出了空間兩條異面直線公垂線方程的幾種求法;另一個是討論兩異面直線間的距離，其中兩直線間的距離是指兩直線上的點之間的最短距離.顯然，兩相交直線和重合直線直線的距離為零，兩平行直線間的距離等于其中一直線上的任意一點到另一直線的距離.這三種情況的距離是很容易理解和計算的.兩異面直線的距離在理解和計算方面相對比較難.
　　文獻［1］介紹了兩異面直線間的距離公式：已知兩異面直線l和l的方程分別為：
　　==
　　和
　　==
　　記A（x，y，z），=（m，n，p），B（x，y，z），=（m，n，p），兩異面直線間的距離為d，則
　　d=
　　文獻［2］給出了兩異面直線距離的六種推導方法.本文利用數量積、向量積和混合積，以及點到平面的距離，給出上述距離公式的簡單證明.為此，我們先給出幾個引理.
　　引理1［１，3］?搖?搖如果⊥，則?=0.
　　引理2［１］?搖?搖兩異面直線的公垂線是唯一存在的.
　　引理3［１］?搖?搖兩異面直線間的距離等于它們公垂線的長.
　　引理4［１］?搖?搖點M（x，y，z）與平面Ax+By+Cz+D=0間的距離為d=.
　　2.兩異面直線間的距離公式的證明
　　證法1：作異面直線l和l的公垂線CD，交l與C和交l與D，如圖1所示.
　　則=與C共線，⊥A和⊥D.
　　從而|C|=|e?C|.（1）
　　A?=0和D?=0.（2）
　　由引理3知，兩異面直線l和l間的距離d=|C|，于是由式（1）知
　　d=|C?|.（3）
　　顯然=A+C+D，于是由式（2）得
　　?=C?.
　　從而由式（3）和混合積的定義得
　　d=.
　　證法2：設P為空間上任一點，則經過點A，以向量，為方位向量的平面π方程為
　　（A，，）=0，
　　且該平面π的法向量為×.
　　顯然，平面π平行于直線l，于是兩異面直線l和l的距離為點B到平面π的距離.從而由引理4得兩異面直線l和l的距離為
　　d=
　　3.結語
　　本文運用向量的基本運算（向量積，數量積，混合積）和點到平面的距離，給出了兩異面直線間距離公式的推導，證明過程淺顯易懂.這對于學生理解和掌握兩異面直線間的距離公式有很大幫助，對培養學生的邏輯思維具有非常重要的意義.
　　參考文獻：
　　［1］呂林根，許子道等.解析幾何（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2006.
　　［2］劉德金.兩異面直線之間距離公式的多種推導［J］.高等數學研究，2009，12，（2）：21-23.
　　［3］同濟大學數學系.高等數學（第四版）（下冊）［M］.北京：高等教育出版社，2007.
　　［4］田立平，謝斌，鞠紅梅等.從“一題五解”談知識的靈活和綜合運用［J］.高等數學研究，2007，10，（2）：28-29.
　　基金項目：重慶市教育委員會項目（No.KJ100419），重慶交通大學高教所教改研究課題（No.1003011