將“權(quán)”關(guān)在規(guī)定明晰的“籠子”里

朱豐勝

【基金項目】江蘇省立項課題——構(gòu)建農(nóng)村初中數(shù)學生“動”課堂教學模式

學生在第二學段首先接觸平均數(shù)概念，初步了解平均數(shù)的實際意義.在此基礎上，蘇科版教材九上第三章“數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度”里在研究數(shù)據(jù)集中趨勢的大背景下，安排學習加權(quán)平均數(shù)，讓學生進一步體會平均數(shù)是刻畫一組數(shù)據(jù)集中趨勢的重要的統(tǒng)計量，并且理解“權(quán)”的意義與作用，通過運用加權(quán)平均數(shù)解決實際問題，讓學生感受數(shù)學與自然及人類社會的密切聯(lián)系.但對權(quán)的內(nèi)涵與外延的表述都不甚明晰.

一、教材解讀

在日常的生活中，一組數(shù)據(jù)里的各個數(shù)據(jù)的“重要程度”未必相同，因而很多的“平均”現(xiàn)象并非簡單的算術(shù)平均.在計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)時，往往根據(jù)其重要程度，分別給每個數(shù)據(jù)一個“權(quán)”，由此求出的平均數(shù)叫作加權(quán)平均數(shù).“權(quán)”的差異性對平均數(shù)有著重要的影響，通常我們討論一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，總是假定每一個數(shù)據(jù)都是同等重要的，即“權(quán)”相等.但是，在實際問題中，有些數(shù)據(jù)比其他數(shù)據(jù)更重要，在這種情況下我們需要根據(jù)具體的目的通過增加權(quán)重來計算平均數(shù)，使得到的結(jié)果更為合理，更為科學.

一般地，如果在一組數(shù)據(jù)中，x1出現(xiàn)f1次，x2出現(xiàn)f2次，…，xk重復出現(xiàn)fk次，（f1，f2，…，fk為正整數(shù)），則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)：

=

在這個計算平均數(shù)的公式中，相同數(shù)據(jù)x1的個數(shù)叫作權(quán)，這個“權(quán)”含有所占分量輕重的意思，因此也叫作“權(quán)重”.

教材在此處安排學習加權(quán)平均數(shù)，體會權(quán)的差異對結(jié)果的影響，探索算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別，不僅發(fā)展了學生的求同和求異的思維，而且通過利用平均數(shù)解決實際問題，發(fā)展了學生的數(shù)學應用能力.

二、一點困惑

《辭海》中關(guān)于權(quán)的表述為：在統(tǒng)計中，計算平均數(shù)等指標時，對各個變量值具有權(quán)衡輕重作用的數(shù)值叫作“權(quán)”. 但對權(quán)衡輕重的這個數(shù)值是頻數(shù)還是頻率沒做具體的說明.

教材99頁中一會說“問題1”中的人數(shù)10、30、60、50、50分別是天數(shù)2、3、4、5、6的“權(quán)”，教材100頁一會又說“問題2”中的 、 、 分別是采訪寫作、計算機操作、創(chuàng)意設計成績的“權(quán)”，問題1中的權(quán)是某數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)，即該數(shù)據(jù)的頻數(shù)，問題2的權(quán)是數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)占數(shù)據(jù)總數(shù)的比，即該數(shù)據(jù)的頻率. 讓人莫衷一是，增加了學生理解和教學的難度. 比如教材101頁練習第一題：

小明統(tǒng)計了15天同一時段通過某路口的汽車流量如下 （單位：輛）

求這15天在這個時段通過該路口的汽車平均流量.

在解決這個問題時有學生認為天數(shù)2、2、5、6是汽車流量142、145、157、156的權(quán)，有學生認為 、 、 、 是汽車流量142、145、157、156的權(quán). 多數(shù)教師在教學中要么回避，要么含糊其辭.

加權(quán)平均數(shù)不同于簡單的算術(shù)平均數(shù)，簡單的算術(shù)平均數(shù)只與數(shù)據(jù)的大小有關(guān)，而加權(quán)平均數(shù)則還與該組數(shù)據(jù)的權(quán)相關(guān)，學生對權(quán)的意義和作用的理解會有困難，尤其問題1中的權(quán)是該數(shù)據(jù)的頻數(shù)，還容易造成學生對數(shù)據(jù)與權(quán)的混淆. 三、我的建議

筆者以為，加權(quán)平均數(shù)是數(shù)學來源于生活、服務生活的具體體現(xiàn)，但何謂“權(quán)”，則是一個規(guī)定. 作為數(shù)學文化傳播最重要的渠道——教材，很有必要給“權(quán)”一個明晰的規(guī)定. 而且在同一問題情境下頻數(shù)的大小確實可以反映數(shù)據(jù)的“重要程度”，但在不同背景中，頻數(shù)相同的數(shù)據(jù)“重要程度”可能不同，頻數(shù)不同的數(shù)據(jù)“重要程度”可能相同，頻數(shù)大的數(shù)據(jù)未必就比頻數(shù)小的數(shù)據(jù)“重要”. 如數(shù)據(jù)1，2，2，2，3，3中的數(shù)據(jù)2的頻數(shù)是3，數(shù)據(jù)1，2，2，2，中的數(shù)據(jù)2的頻數(shù)也是3，雖然頻數(shù)相同，但“重要程度”顯然不一樣. 所以以頻數(shù)形式規(guī)定“權(quán)”適用范圍狹窄，不具一般性，也不嚴謹. 若以頻率形式規(guī)定“權(quán)”，前者的權(quán)是 ，后者的權(quán)是 ，重要程度一目了然，所以頻率規(guī)定形式具有一般性，因而更為科學.

教材所需做的變動僅是將101頁，一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，不僅與這組數(shù)據(jù)中各個數(shù)據(jù)的值有關(guān)，而且與各個數(shù)據(jù)的“重要程度”有關(guān)，我們把衡量各個數(shù)據(jù)“重要程度”的數(shù)值叫作“權(quán)”. 例如：“問題1”中的人數(shù)10、30、60、50、50分別是天數(shù)2、3、4、5、6的“權(quán)”；

問題2中的 、 、 分別是采訪寫作、計算機操作、創(chuàng)意設計成績的“權(quán)”.

一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，不僅與這組數(shù)據(jù)中各個數(shù)據(jù)的值有關(guān)，而且與各個數(shù)據(jù)的“重要程度”有關(guān)，我們把衡量各個數(shù)據(jù)“重要程度”的數(shù)值叫作“權(quán)”. 例如：“問題1”中的

分別是天數(shù)2、3、4、5、6的“權(quán)”；

問題2中的 、 、 分別是采訪寫作、計算機操作、創(chuàng)意設計成績的“權(quán)”. 一個簡單的變動既明確了一個概念，又減輕了學生的負擔，何樂而不為！