ARMA模型在西藏自治區(qū)GDP預(yù)測分析中的應(yīng)用

　　【摘 要】該文以西藏自治區(qū)1978～2011年的地區(qū)生產(chǎn)總值時(shí)間序列為具體的分析對(duì)象，通過對(duì)數(shù)據(jù)的平穩(wěn)化處理，在此基礎(chǔ)上建立自回歸移動(dòng)平均模型（ARMA模型）。用Eveiws軟件擬合ARMA模型并做預(yù)測分析。
　　【關(guān)鍵字】ARAM模型 單位根檢驗(yàn) GDP 預(yù)測
　　
　　國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）是指在一個(gè)特定時(shí)期，一個(gè)國家或地區(qū)所生產(chǎn)的全部最終產(chǎn)品的價(jià)值，可以說，它是影響經(jīng)濟(jì)生活乃至社會(huì)生活的重要經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，通過它可以判斷經(jīng)濟(jì)是在萎縮還是在膨脹，是需要刺激還是需要控制。GDP預(yù)測的準(zhǔn)確性極大地影響著政府的決策，因此如何運(yùn)用科學(xué)有效的方法對(duì)其進(jìn)行分析預(yù)測具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。用于GDP預(yù)測的方法很多，該文選擇ARMA模型對(duì)西藏自治區(qū)GDP進(jìn)行模擬預(yù)測。
　　一 ARMA模型概述
　　ARMA模型是由美國統(tǒng)計(jì)學(xué)家博克斯（Box）和金肯（Jenkins）在20世紀(jì)70年代提出的，該模型是研究時(shí)間序列的重要方法，它實(shí)現(xiàn)了對(duì)單一時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)化處理，得到相對(duì)精度較高的短期預(yù)測結(jié)果。ARMA模型有三種基本類型：自回歸模型（auto-regressive，AR）、移動(dòng)平均模型（moving-average，MA），以及自回歸移動(dòng)平均（auto-regressive moving-average，ARMA），前兩種模型是后一種模型的特例。ARMA（p，q）模型的一般表達(dá)形式如下：
　　
　　上式表明時(shí)間序列Yt不僅和它自身的滯后序列Yt－i，（i＝1，2，…，p）有關(guān)，還與隨機(jī)序列μt－i，（i＝1，2，…，q）有關(guān)，其中μt為白噪聲序列。
　　二 數(shù)據(jù)的平穩(wěn)化處理
　　建立ARMA隨機(jī)時(shí)間序列模型，首先要考慮研究對(duì)象的數(shù)據(jù)是否滿足建模的條件，即要判斷時(shí)間序列是否滿足平穩(wěn)性的要求，以下對(duì)西藏自治區(qū)GDP數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性分析，以確定能否利用ARMA模型進(jìn)行擬合。以年份為橫軸，GDP總量為縱軸，描繪出西藏自治區(qū)GDP圖像，見圖1。
　　
　　從圖1中可以看出，西藏自治區(qū)GDP數(shù)據(jù)不具有明顯的周期變化和季節(jié)波動(dòng)，有明顯的非平穩(wěn)性。西藏自治區(qū)GDP數(shù)據(jù)圖形大致呈指數(shù)增長趨勢，對(duì)其采取取對(duì)數(shù)（lnGDP）將指數(shù)趨勢化為線性趨勢（見圖2）。通過對(duì)lnGDP數(shù)據(jù)進(jìn)行1次、2次和3次差分后發(fā)現(xiàn)，進(jìn)行到三階差分D［D（DlnGDP）］才具有平穩(wěn)性。用ADF單位根檢驗(yàn)三階差分后數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性，見表1。
　　
　　表1 ADF單位根檢驗(yàn)
　　從表1中可以看出，ADF檢驗(yàn)t值為－7.716807，小于1%置信水平下得t統(tǒng)計(jì)量臨界值－3.72。因此在99%的可信度下拒絕序列D［D（DlnGDP）］有單位根的假設(shè)，認(rèn)為對(duì)數(shù)變化后的三階差分D［D（DlnGDP）］是平穩(wěn)的。
　　三 模型的建立與識(shí)別
　　平穩(wěn)時(shí)間序列ARMA（p，q）的重要特征見表2。
　　表2
　　AR（p）MA（q）ARMA（p，q）
　　模型
　　
　　
　　自相關(guān)
　　函數(shù)拖尾，指數(shù)衰減
　　或正弦衰減截尾（q步）拖尾，指數(shù)衰減或正弦衰減
　　偏自相
　　關(guān)函數(shù)截尾（p布）拖尾，指數(shù)衰減或正弦衰減拖尾，指數(shù)衰減或正弦衰減
　　從表2中可以看到，根據(jù)拖尾和截尾的性質(zhì)可以選擇不同的模型進(jìn)行擬合，在ARMA模型定階中可以通過運(yùn)用自相關(guān)和偏自相關(guān)圖觀察確定序列D［D（DlnGDP）］的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖（如表3所示）。
　　
　　表3 表5
　　從表3-2中D［D（DlnGDP）］的自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)中我們可以看到，它們都是拖尾的，因此可設(shè)定為ARMA模型。D［D（DlnGDP）］的自相關(guān)函數(shù)1-3階都是顯著的，從4階后開始下降很大，數(shù)值也不太顯著，因此先假定q的值為3。D［D（DlnGDP）］的偏自相關(guān)函數(shù)1-2階都很顯著，并且從第3階起下降明顯，因此初步設(shè)定p的值為2，建立ARMA（2，3）模型。由于自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)的方法來定階并不是太精確，主觀性較強(qiáng)，最佳定階法是構(gòu)造一個(gè)準(zhǔn)則函數(shù)，該函數(shù)既要考慮用某一模型對(duì)原始數(shù)據(jù)擬合的接近程度，同時(shí)又要考慮模型中所含待定參數(shù)的個(gè)數(shù)。通常根據(jù)赤池信息準(zhǔn)則（Akaike information criterion，AIC）及施瓦茨信息準(zhǔn)則（Schwarz information criterion，SIC）來確定模型滯后階數(shù)（p，q）值。選取p＝（2，3）；q＝（2，3），組合之
　　后的AIC、SIC的值見表4
　　表4
　?。?，2）（2，3）（3，2）（3，3）（3，4）
　　AIC-2.62-2.57-2.56-2.53-2.27
　　SIC-2.39-2.29-2.22-2.20-1.89
　　根據(jù)最佳模型準(zhǔn)則，選取赤池信息法則AIC值與施瓦茨貝葉斯法則SIC值越小越好的原則，選擇ARMA（2，2）比較合適。
　　從表5中可以看到，變量都以較高的概率通過了顯著性檢驗(yàn)。而且，從模型的擬合程度看，決定系數(shù)達(dá)到了87%，模型具有很好的預(yù)測功能。DW統(tǒng)計(jì)量為2.2，不存在序列相關(guān)。特征方程的倒數(shù)跟的絕對(duì)值都小于1，滿足平穩(wěn)性的要求。
　　四 模型檢驗(yàn)
　　對(duì)模型的殘差序列進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)，結(jié)果見表6
　　從樣本的殘差自相關(guān)圖可以看出，樣本的ACF和PACF值都在兩倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，即認(rèn)為殘差為白噪聲序列，說明該模型是有效的。做回歸殘差圖（見圖3），從圖形中可以清楚地看出這個(gè)模型的優(yōu)點(diǎn)：首先，比較實(shí)際值和擬合值，可以發(fā)現(xiàn)該預(yù)測模型能夠很好地?cái)M合實(shí)際值；其次，該模型明顯地抓住了年度變動(dòng)的特征，并且這種固定的年度模式較好地?cái)M合了西藏自治區(qū)GDP數(shù)據(jù)的大部分變動(dòng)；最后，生成的殘差序列為白噪聲序列，而且大部分落在5%的顯著帶寬中。該模型僅在1989、1990年經(jīng)濟(jì)波動(dòng)劇烈時(shí)，模擬的效果較差，這與當(dāng)時(shí)的西藏經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展環(huán)境有一定的關(guān)聯(lián)。
　　
　　表6 圖3
　　五 模型預(yù)測
　　所有的檢驗(yàn)表明，樣本區(qū)間上所建立的ARMA(2，2)模型是合適的，利用Dynamic預(yù)測方式（圖4-3）及“static”方法（圖4-4）對(duì)西藏自治區(qū)的GDP進(jìn)行預(yù)測。
　　
　　圖4 圖5
　　圖中的實(shí)線代表的是D(D(DlnGDP))的預(yù)測值，兩條虛線代表了2倍標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間，從圖中可以看出，隨著時(shí)間的推移，預(yù)測值很快趨向于序列的均值（接近0），這與實(shí)際是相符的，近期的變量對(duì)于現(xiàn)在的變量影響較大，但隨著時(shí)間的增長，影響越來越小。從圖4中還可以看到theil不相等系數(shù)為0.59，表明模型的預(yù)測能力較好，而對(duì)它的分解可以看出偏誤比例很小，方差比例較大，說明實(shí)際序列的波動(dòng)較大，而模擬序列的波動(dòng)較小，這可能是由于預(yù)測時(shí)間過長引起的。利用“static”方法來估計(jì)1989～2011年的D［D（DlnGDP）］，可以得到如圖5所示的結(jié)果，從圖5中可以看出，“static”方法得到的預(yù)測值波動(dòng)較大；同時(shí)，方差比例的增加表明了模擬實(shí)際序列的波動(dòng)較大，表明模型的預(yù)測結(jié)果較dynamic要差。
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