談三角函數的最值求法

楊玉明

（撫順市技師學院數學教研室，遼寧 撫順 113123）

前言

在數學教學中三角函數是學習章程中獨立的一章，也是在歷年的考試中重要的考點之一，要想把三角函數學好，首先必須要對之前所學的三角公式靈活運用，能快速的看出需要變形的恒等。三角函數的最值運算是結合了許多數學知識和運算方法，所以在解題的過程中很可能會因為變形錯誤、問題理解錯誤等諸多問題而最后影響了運算結果。所以在學習三角函數最值的時候，同學們應有針對性的學習，對教學的重點、難點提前預習，理解滲透三角函數的應用公式，學習的時候注意聽老師的思維方法和解題步驟，這樣會對學習三角函數最值有很大的幫助。

在求最值的問題的時候首先要了解求什么類型的最值，其中三角函數的的最值是利用三角函數性質來解決，如果是求一般的最值問題，現在普遍運用的方法一種是利用函數的單調性，另一種是利用導數，在學習三角函數之前可以把曾經做過的有關最值問題進行細致總結，分析題目中所給出的幾個方向，方向的選擇是通過讀題，如果出現多套思路，只要靈活運用所學到的數學方法去處理問題就行。

1 求三角函數最值的方法

求三角函數最值的方法有很多，其中最常用的有配方法、反求法、分離常數法、輔助角法、換元法、不等式法等方法，但是在學習三角函數最值的時候，如果讓學生學習如此多的方法，會使他們造成公式混亂更加難以理解學習的內容，學到最后連最基本的方法都沒有掌握，出現“丟西瓜撿芝麻”的情況。所以在學習三角函數最值的時候，重點掌握三種方法，它們是所有方法當中最基本也是最常用的，有配方法、反求法、輔助角法，其中反求法的應用范圍與分離常數法是異曲同工之妙，它們都要在掌握變形的是同時又需要靈活運用，這種方法通俗易懂、化繁為簡，但是分離常數法不能像反求法一樣作為重點學習。

在對運算公式和方法融會貫通之后，就要運用實例來測試自己的學習成果，但不是所有的例題都能反映出學習效果，要做有特點的例題，因為這種例題能夠很好的反映和體現三角函數最值的求法和變形，還能通過這種例題反映出在做題過程中應注意的細節問題和容易出錯的地方，通過做題更深入的了解這三種運算三角函數最值的方法。三角函數最值的學習還是要通過老師得講解和同學的實際運算相結合，因為三角函數最值的方法是固定的，只有在老師講解完學生理解之后才能自己獨立做練習題，只有充分發揮這三種方法，并多加練習，才能提高三角函數最值的學習效率。

2 三角函數最值的解題思路

如果是屬于三角函數方向的題目，在解題思路上不應該出現不容易把握的狀況，那么在三角變換這個方向上，三角題目的解題方向有的同學在學習過程中把握不好，其中有很多原因，比如在答題時看到題目，套用一個公式寫上去，答完之后發現所用的公式不對，然后重新再換一個公式答題。總是這樣的反復套用，就顯得思路混亂，對公式的掌握程度不夠，往往有的時候，第一次考慮一個公式往上一用，題目解的很順，就會認為已經對三角函數掌握的很好，但是當下一次依然運用這個公式的時候，問題沒有解開，然后又選擇第二個甚至第三個公式，依舊解不開，于是會對心里就會產生影響，這是學生在學習三角變換中很常見的現象。主要原因就是因為三角函數的公式很多，變換的形式多變，這就好像走到了十字路口，然后站在中間，接下來還有許多條路，但是我們只需要選擇最短最快的一條路，而我們站在路中間看不清楚，這跟解答三角函數最值問題是相似的，所以就要求在解答三角函數最值的時候對已知條件仔細研究，準確分析，根據具體的題目，考慮是先從和角公式還是差角公式著手，然后在分析兩角之間存在的必然關系，函數與函數的關聯，題目分析準確之后掌握好解題方向，把應該用到的公式結合起來，按照解題步驟一步一步的解答。只有按照以上方法進行分析三角函數最值才是合理的、準確的。

2.1 給角求值

三角函數中最值問題應熟練掌握三角函數中的套用公式、和角公式、差角公式、倍角公式，還要具有逆向思維的頭腦，將非特殊角轉化為特殊角例如：30°、60°、90°，寫明求值的過程，然后進行解析，總體來講就是先將角度轉換在利用切割化弦運算依次是化為特殊角最后是約去部分，解決這類問題的關鍵就是特殊角轉換，然后約去非特殊角。

2.2 給值求值

給值求值這種三角函數求值法的運算過程中，經常會遇到同角之間的運算關系和推論方法，給值求值的關鍵就在于利用已經給出的條件與要求得的值之間角的運算，對于已知條件和未知條件之間進行轉換或者是變形，達到求解的目的。

3 三角函數問題中常見錯誤分析

三角函數作為數學章程中獨立的一部分，它的特點鮮明，其中需要熟悉掌握的公式比較多，需要靈活的變換公式，往往一道問題會有多個答案出現的情況，所以導致了在解題的過程中會因為思維混亂而陷入誤區，但還是因題而異。

3.1 定義域

三角函數中的恒等之間變換必須要使三角函數是有意義的，在區間內的任意角范圍不能改變的情況下，對于切角和割角的定義域范圍就顯得尤為重要，要仔細分析研究切割角兩類函數，否則很容易造成運算失誤，最終導致答案錯誤。

3.2 單調性

三角函數運算過程中會給出一部分已知條件，利用已知條件去求某一項，這個時候很多人在答題時經常性的忽略單調性，如果是在某一區間上的角，這樣就會使答案增加。

4 三角函數求值域的類型

在解決三角函數的時候，還有可能會遇到求值域的問題，在解決值域問題的時候，一定要熟練運用三角之間的代換，看到題目的時候不要急于解答，要先仔細觀察，分析研究給出的已知條件，大多情況下都是利用數形結合的運算技巧。

例如：f(x)=asinx+b，這種函數我們可以把它看作是定義中的某個函數，那么這種函數的最值就是[f(x)]max=+b；[f(x)]min=+b

4.1 雙曲線型

例如：f(x)，這樣的函數就可以把它看作是雙曲線函數在某個區間上的圖形，函數值有可能在雙曲線的一支上，也有可能函數值分別在雙曲線的兩支上。

4.2 拋物線型

例如：f(x)=asin2x+bsinx+c(a≠0)，這樣的函數可以把它看成是拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)在 x（-1，1）時的函數值范圍，當這個函數值在一定區間下，達到一個最值，而另一個最值，在另一個區間，如果函數是在某個區間上單調，那么它的最值應該是在兩端點處。

結論

綜上所述，三角函數在慣例考試中是經常出現的數學題目，通常試卷中除了考察和角公式、差角公式、倍角公式以及半角公式等三角函數之間的關系，還有三角函數的恒等變形的靈活運用程度。三角函數覆蓋了豐富的數學公式，復雜的運算步驟，需要注意的是在學習三角函數的時候，必須要準確的牢記三角函數所有公式，熟練的使用變換方法，根據不同的問題思維要靈活，把所學到的公式融會貫通，這樣就會順利的解決問題。

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