輔助函數在高職數學教學中的應用

何潤民

(陜西工業職業技術學院，陜西咸陽 712000)

輔助函數在高職數學教學中的應用

何潤民

(陜西工業職業技術學院，陜西咸陽 712000)

在高職數學教學中，構造輔助函數是常見的思想方法。對構造輔助函數的研究，對于開闊學生的思路，培養他們的創新意識和分析問題、解決問題的能力具有十分重要的意義。

構造法;輔助函數;思想方法

輔助函數是構造法的產物。簡單說：就是為了使某一數學命題或某一數學概念通過已知的數學概念和方法人為地構造出來的函數，這些函數的存在往往依賴于已知函數的存在，在較強的條件約束下，達到證實或說明某種結論或概念的正確性。輔助函數在高等數學中廣泛地被采用著，它們起橋梁的作用，有些甚至無法替代，輔助函數在數學發展過程中的獨到作用是不容忽視的。

針對高職數學教學過程中，一些定理和結論的證明當使用通常方法很難奏效時，往往需要先構造一個與所證結果有關的輔助函數，作為解決問題的橋梁，然后運用已知條件和有關概念，推證出所要證的結果，這就是構造輔助函數的思想。

一、借助幾何直觀構造輔助函數

利用數形結合的方法，借助與幾何圖形直觀地構造出所需的輔助函數。

例1.(Lagrange)中值定理。設函數F(x)在［a，b］上連續，在(a，b)內可導，則在(a，b)內至少存在一點ξ，使得

二、利用分析法構造輔助函數

指由結論出發緊扣已知條件一步一步的向已知進行追索，在適當的地方引進輔助函數，使已知和未知聯系起來，最后得證。

分析：觀察不等式，可以發現，中間部分是對數，左端是分式(當然右端也可以看成分式)而對數的倒數正好是分式，所以我們不難想到借助于(Lagrange)中值定理來證明它。

圖1

證明：設函數 f(x)=lnx，當 x∈［1，1+x］時，可知該函數滿足(Lagrange)中值定理的條件，所以存在一點ξ∈(1，1+x)

另外輔助函數也可以設為f(x)=ln(1+x)，這時要在［0，x］上證明。

三、利用積分上限函數作為輔助函數

在許多關于定積分的命題或結論的證明中，經常利用積分上限函數作為輔助函數，尤其是在牛頓一萊布尼茲公式的證明中，運用的非常巧妙。

例3.牛頓一萊布尼茲公式的證明

四、利用已知函數構造輔助函數

利用已知函構造出一個新的函數通過適當整理，而由需要求出一些特殊的函數值。

例4.計算ln2的近似值

解此題時，如果設輔助函數為f(x)=ln(1+x)，把他展成麥克勞林級數，并且取x=1得：

這種方法雖然能求得ln2的近似值，但這個級數收斂特別慢，如果想要使誤差小于10－2，要計算100項之和，如果想要使誤差小于10－5，要計算十萬項之和，這在實際中是不可能的。所以如果沒這個函數幫助解題就不當。但想到

對于這個式子來說，只需取幾項就能得到相當好的近似值，由上例子可以看出，對于有些題，我們可以找出不止一個輔助函數。

通過以上的例子可以看出，這些被構造出來的輔助函數與所論命題有著直接或間接關系，在平時教學中被輕描淡寫地一帶而過。如果在教學中能加強對構造輔助函數的研究對于開闊高職學生的思路，培養他們的創新意識和分析問題、解決問題的能力具有十分重要的意義。

［1］同濟大學數學教研室主編.高等數學：上、下冊.北京：高等教育出版社1989

［2］劉玉璉，傅沛仁.數學分析講義(第5版)［M］.北京：高等教育出版社，2008：4～7.

［3］解恩澤、徐本順.數學思想方法.濟南：山東教育出版社，1998

Auxiliary Function Application in Higher Vocational Mathematics Teaching

HE Run－min
(Shaanxi Polytechnic Insitiute，Xianyang Shaanxi，712000)

In the teaching of mathematics in higher vocational education，it is very common to structure an auxiliary function to solve mathematical problems.The study of structuring the auxiliary function has the extremely vital significance for students to broaden their thinking，cultivate their innovation consciousness and the abilities to analyze and solve questions.

structured approach;auxiliary function;method of thinking

G642 < class="emphasis_bold">文獻標識碼：A

A

1671－3974(2012)02－0068－02

2012－03－14

何潤民(1961－)，男，碩士，陜西工業職業技術學院(基礎部)講師。研究方向：數學理論教學。