不可壓完全Ericksen-Leslie系統(tǒng)的局部適定性

朱曉霞

（河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北石家莊 050018）

不可壓完全Ericksen-Leslie系統(tǒng)的局部適定性

朱曉霞

（河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北石家莊 050018）

考察描述向列型液晶的完全Ericksen-Leslie系統(tǒng)的適定性，利用Tychonoff不動(dòng)點(diǎn)定理給出了初值在一定正則條件下的不可壓液晶方程組局部強(qiáng)解的存在性和唯一性。

液晶；Tychonoff不動(dòng)點(diǎn)定理；不可壓；局部強(qiáng)解；存在性和唯一性

液晶研究始于1888年，奧地利科學(xué)家萊尼茨爾合成了一種奇怪的有機(jī)化合物，它有2個(gè)熔點(diǎn)。把它的固態(tài)晶體加熱到145℃時(shí)，便熔成液體，只不過是渾濁的，而一切純凈物質(zhì)熔化時(shí)卻是透明的。如果繼續(xù)加熱到175℃時(shí)，它似乎再次熔化，變成清澈透明的液體。后來(lái)，德國(guó)物理學(xué)家列曼把處于“中間地帶”的渾濁液體叫作液晶。液晶的定義，現(xiàn)在已放寬而囊括了在某一溫度范圍可以是現(xiàn)液晶相，在較低溫度為正常結(jié)晶的物質(zhì)，液晶既像晶體一樣具有特殊光學(xué)性質(zhì)，對(duì)電磁場(chǎng)敏感，又具有液體的流動(dòng)性，其內(nèi)部分子指向具有一定的規(guī)律，極有實(shí)用價(jià)值。自從液晶理論發(fā)展起來(lái)以后，大量關(guān)于液晶特性的理論和實(shí)驗(yàn)性的結(jié)果涌現(xiàn)出來(lái)，但是大部分都是關(guān)于液晶材料在電磁場(chǎng)作用下的效應(yīng)，Ericksen-Leslie理論非常好地預(yù)言了一些性質(zhì)。Ericksen-Leslie系統(tǒng)耦合了Navier-Stokes方程和Ginzburg-Landau方程，用來(lái)描述向列型液晶的速度場(chǎng)和分子方向場(chǎng)。筆者在有界光滑區(qū)域Ω?R3中考慮具有變分結(jié)構(gòu)的液晶系統(tǒng)［1－3］。

Ericksen-Leslie系統(tǒng)描述了液晶速度場(chǎng)和液晶分子方向場(chǎng)的宏觀連續(xù)發(fā)展。特別的，u系統(tǒng)中存在依賴d的外力項(xiàng)；d-系統(tǒng)的左端表示流的運(yùn)動(dòng)輸運(yùn)項(xiàng)，右端表示由彈性能量引起的內(nèi)部松馳項(xiàng)。很多情形下，速度場(chǎng)干擾分子的指向，反過來(lái)，分子指向的改變將誘導(dǎo)速度場(chǎng)。

為了求得方程組（0，1）的定解，未知函數(shù)u，d還應(yīng)滿足邊界條件和初始條件

1 主要結(jié)論

2 定理的證明

首先構(gòu)造合適的函數(shù)空間來(lái)研究不可壓液晶系統(tǒng)式（1）—式（3）的適定性。

證明 由引理1和引理2，利用Tychonoff不動(dòng)點(diǎn)定理［8］知映射F在C T中至少存在1個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。解的正則性由拋物型方程正則性理論立得。結(jié)合由u-方程推導(dǎo)的微分不等式和d-方程推導(dǎo)的微分不等式再應(yīng)用Gronwall不定式即得解的唯一性［4］，由CT中元素的正則性及上界估計(jì)和T（均依賴于初值在V×H3（Ω）3中的模），結(jié)合緊性理論和拋物型方程的收斂結(jié)果可知解對(duì)初值具有連續(xù)依賴性。證畢。

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Local well-posed problem of incompressible complete Ericksen-Leslie system

ZHU Xiao-xia
（College of Sciences，Hebei University of Science and Technology，Shijiazhuang Hebei 050018，China）

The well-posed probem of the full Ericksen-Leslie system for nematic liquid crystal is analyzed，and the existence and uniqueness of the local strong solutions to the incompressible liquid crystal equations is obtained by using fixed point theorem when the initial values fit the regular conditions.

liquid crystal；Tychonoff＇s fixed point theorem；incompressible；local strong solution；existence and uniqueness

O635 MSC（2010）主題分類：46A16

A

1008-1542（2012）04-0296-04

2012-04-06；責(zé)任編輯：張 軍

國(guó)家科技支撐計(jì)劃資助項(xiàng)目（2012BAH20B03）

朱曉霞（1980-），女，河北邢臺(tái)人，講師，碩士，主要從事模糊決策、系統(tǒng)規(guī)劃方面的研究。