一種攔截機動目標的最優中制導律設計

周池軍，雷虎民，葉繼坤

（空軍工程大學 導彈學院，陜西 三原713800）

對于中遠程地空導彈，為了提高導彈的制導精度和射程，需要采用二級以上的復合制導模式.其中中制導的任務是把導彈導引到末制導導引頭能夠截獲目標的有利空間，保證主動雷達導引頭可靠截獲目標，并盡可能地為末制導段提供一個良好的初始攻擊條件，如航向誤差要小，動能要大等[1，2].文獻[3]在最優預測中制導律的基礎上，設計了一種導彈在交班時刻性能最優的中制導律，使導彈在交班點處速度達到最大，導彈與目標的相對幾何關系達到最佳.但所提出的中制導律需要對命中點以及交班點進行預測，預測的精度對制導律的影響較大.文獻[4]針對大氣層外中段攔截問題，設計了一種帶有固定推進時間的近最優中制導策略，充分考慮了兩飛行器之間重力差的影響，但沒有對交班時刻的角度進行約束，而且需要利用變系數線性微分方程來求解最優制導律，推導過程較為復雜.文獻[5]通過引入偽控制變量的概念，針對低速目標設計了一種最優末制導律，該制導律推導過程簡單，但攻擊高速大機動目標時，剩余飛行時間估計誤差較大，這嚴重影響了導彈的制導性能.

為克服以往中制導律推導過程的復雜性，本文以最優控制理論為基礎，將最小化控制能量和交班時刻速度前置角作為性能指標，利用偽控制變量將變系數線性微分方程轉化為常系數線性微分方程，設計了一種最優中制導律，并通過仿真驗證了該制導律的有效性.

1 彈目相對運動模型

為了便于研究導彈的中制導律，假設導彈在飛行過程中不發生滾轉，將導彈在三維空間中的運動解耦成縱向平面和側向平面，并分別進行研究.由于側向平面的運動與縱向平面的運動類似，本文僅針對縱向平面攔截情況進行分析.縱向平面內的彈目相對運動關系如圖1所示.

圖1 彈目相對運動關系

圖1中vm，vt分別為導彈和目標的速度；am，at分別為導彈和目標的法向加速度，它們分別垂直于各自的速度矢量，只改變速度的方向，不改變速度的大小；θm，θt分別為導彈和目標的彈道傾角；ηm和ηt分別為導彈和目標的速度前置角；R為彈目相對距離，q為彈目視線角.彈目相對運動學模型為

式中，ηm＝q－θm，ηt＝q－θt.對式（2）求導，并將式（1）代入，整理得：

2 最優制導律的設計

中遠程地空導彈中末制導交班點處的角度約束是導引頭成功捕獲目標的關鍵.在交班點處希望導引頭敏感軸指向目標，可以通過調整俯仰角?間接調整導引頭指向.直接控制?不易實現，由于在中制導段導彈過載較小，攻角α很小，可近似認為θm＝?.因此，只要在交班時刻使彈軸指向目標，即θm＝q，就可以認為導引頭能夠以最佳的角度捕獲目標，并為末制導提供最優的初始條件[6].

設導彈的控制量為法向過載，即

選取x1＝ηm，x2＝為狀態變量，將導彈的法向過載作為輸入量，則彈目相對運動的狀態空間描述為

式中，

式（7）為變系數線性微分方程，直接求解是十分困難的，因此，引入一個偽控制變量：

則彈目相對運動可描述為

考慮控制能量和交班時刻的角度約束2個因素，選取性能指標函數為[7]

式中，X＊（t）為控制量取最優時所對應的系統狀態，P（t）為半正定對稱矩陣，且滿足黎卡提方程：

求解P（t）可得：

式中，

剩余飛行時間tgo＝tf－t0.

對于中制導律而言，在中末制導交班時刻，導彈彈軸對準目標即認為此時導引頭達到捕獲目標的最佳幾何位置，因此約束條件為x1（tf）＝0，ηm（tf）＝0，故取f1→∞，而對導彈的速度前置角變化率不作約束，取f2＝0.代入式（13）得：

由式（11）、式（17）可得：

將式（18）代入式（8）得導彈的法向過載ny滿足：

式中，

3 制導律的實現

3.1 制導信息的獲取

由制導律的形式可知，要求解最優制導律，需要用到的信息包括導彈信息、目標信息以及彈目相對運動信息3類.導彈的運動信息可以通過自身的捷聯慣測裝置解算得到.對于處在中制導段飛行的導彈，導引頭尚未開機，制導所需的目標信息以及彈目相對運動信息均由地面雷達測量或計算得到，并實時傳遞給導彈.地面雷達可以直接測量目標與雷達連線的視線高低角、目標接近雷達的速度以及目標與雷達之間的距離等信息，通過濾波裝置可以計算視線高低角速度以及目標接近雷達的速度的導數，根據目標和雷達的相對運動關系可以解算得到目標的速度、法向和切向加速度以及彈道傾角等實時運動信息.同時，地面雷達結合導彈的運動可以計算得到彈目相對運動信息.由于地面雷達具有強大的信息處理能力，因此，測量或計算得到的目標信息和彈目相對運動信息的精度完全可以滿足中制導需求.

3.2 剩余時間的估計

剩余時間的估計算法很多，常見的算法都是利用彈目相對距離和彈目相對距離變化率進行估計[3，5].對于固定目標和低速目標，這種算法估計的剩余時間較為精確，但是對于大機動目標，估計的誤差較大.這里，給出一種新的剩余時間估計算法.

當目標不機動時，由彈目相對距離和彈目相對距離變化率可得：

當目標進行機動時，由彈目相對運動關系可得：

式中，vm，los，vt，los分別為導彈、目標速度在彈目視線方向上的分量；am，los，at，los分別為導彈、目標法向加速度在彈目視線方向上的分量.由式（21）可得：

式中，I＝am，los－at，los，H＝vm，los－vt，los，K＝－R.求解式（22）可得：

式中，Δ＝H2－4IK，tgo按下列規則進行取值：

①當Δ＜0 或 者am，los，at，los同 時 為 0 時，tgo＝tgo，0；

②當Δ≥0且｜tgo，1－tgo，0｜＜｜tgo，2－tgo，0｜時，tgo＝tgo，1；

③當Δ≥0且｜tgo，1－tgo，0｜＞｜tgo，2－tgo，0｜時，tgo＝tgo，2.

4 仿真分析

假設目標作超聲速蛇形機動，初始時刻目標的位置為（50km，10km），速度vt＝800m/s，切向加速度t＝－gsinθt，法向加速度at＝6gsin（0.4t），目標的初始彈道傾角為180°.導彈中制導初始時刻的位置（2km，1km），速度vm＝900m/s，切向加速度m＝－gsinθm，初始時刻彈道傾角為21°，雷達導引頭的鎖定距離為12km.

考慮制導系統延遲，將導彈的自動駕駛儀傳遞函數T等效為一個慣性環節和一個振蕩環節的串聯模型，可以表示為[8]式中，自動駕駛儀時間常數τ＝0.5s，阻尼常數ζ＝0.6，頻率ωn＝18rad/s.

為了體現本文所設計的最優中制導律（OGL）的制導效果，將其與帶角度約束的變結構制導律（VSG）[6]和修正比例導引律（APN）[9]進行比較.

為比較中制導過程中的能量消耗，采用控制能量[8]（Ec）作為比較參數，其計算形式為仿真結果如圖2～圖6及表1所示.

圖2 導彈與目標運動軌跡

圖3 前置角變化曲線

圖4 制導指令變化曲線

圖5 視線角速度變化曲線

圖6 剩余時間變化曲線

表1 攔截參數比較

由圖2可知，采用最優制導律得到的彈道比采用變結構制導律和修正比例導引律得出的彈道更加平滑.由圖3可知，3種制導律在中末制導交班時刻均能得到較小的速度前置角，但采用最優制導律時，導彈在中末制導交班時刻的速度前置角幾乎為0，可以認為導引頭已經達到捕獲目標的最佳幾何位置.由圖4可知，采用最優中制導律時，導彈的法向過載較小，受目標機動的影響較小，而采用變結構制導律和修正比例導引律時，在初始時刻和中末制導交班時刻導彈的制導指令較大.從圖5可知，采用最優中制導律時，視線角速度的變化相比其它2種制導律更加平穩，中制導結束時刻，視線角速度較小.由圖6可知，與傳統的剩余時間計算方法相比，基于本文提出的計算方法得到的剩余時間更能體現目標的運動特性，2種計算方法得出的剩余時間的偏差隨著彈目距離的減小而逐漸減小，在中制導末段2種計算方法得出的剩余時間幾乎一致.從表1可以看出，采用最優中制導律時導彈在中末制導交班點處的過載和速度前置角均很小，能夠保證導引頭成功捕獲目標以及中末制導彈道的平滑過渡，整個中制導過程消耗的能量很小，雖然中制導時間稍有增加，但相對于變結構制導律和比例導引律仍然具有明顯的優勢.

5 結束語

本文以控制能量和中末制導交班時刻導彈的速度前置角為性能指標，利用偽控制量簡化了制導規律的求解，得出了一種最優中制導律.仿真結果表明，該最優中制導律能夠有效地保證中末制導的順利交班，并為末制導提供良好的初始攻擊條件.本文在最優中制導律的設計過程中，沒有考慮通過濾波或估計得到的目標信息和彈目相對運動信息的誤差.采用先進的濾波算法減小誤差并分析誤差對制導精度的影響是下一步需要研究和解決的問題.

[1]OZA H B.A nonlinear suboptimal guidance law with 3Dimpact angle constraints for ground targets[C].AIAA Guidance，Navigation，and Control Conference.Toronto：AIAA，2010：8 185－8 210.

[2]王玉林，周紹磊，雷明.超聲速攔射導彈的一種預測變結構中制導律[J].飛行力學，2009，27（5）：47－50.WANG Yu－lin，ZHOU Shao－lei，LEI Ming.Forecast variable structure midcourse guidance law design for supersonic intercept missile[J].Flight Dynamics，2009，27（5）：47－50.（in Chinese）

[3]董朝陽，周雨.一種交班時刻性能最優的中制導律設計與仿真[J].系統仿真學報，2009，21（24）：7 873－7 877.DONG Chao－yang，ZHOU Yu.Design and simulation of han－dover performance optimal midcourse guidance law[J].Journal of System Simulation，2009，21（24）：7 873－7 877.（in Chinese）

[4]鄭立偉，荊武興.大氣層外攔截器近最優中制導律設計[J].宇航學報，2008，29（1）：229－235.ZHENG Li－wei，JING Wu－xing.Design of a near optimal midcourse guidance law for exoatmospheric interceptor[J].Journal of Astronautics，2008，29（1）：229－235.（in Chinese）

[5]馮志剛，楊希祥.反艦導彈最優末制導及其仿真研究[J].彈箭與制導學報，2006，27（2）：39－41.FENG Zhi－gang，YANG Xi－xiang.Research on optimal terminal guidance law for anti－ship missile and its simulation[J].Journal of Projectiles，Rockets，Missiles and Guidance，2006，27（2）：39－41.（in Chinese）

[6]周紹磊，雷明，戴邵武，等.用于復合制導的變結構中制導律研究[J].彈箭與制導學報，2008，28（5）：11－13.ZHOU Shao－lei，LEI Ming，DAI Shao－wu，et al.An investigation of variable structure midcourse guidance law applied to combined guidance[J].Journal of Projectiles，Rockets，Missiles and Guidance，2008，28（5）：11－13.（in Chinese）

[7]RYOO C K，CHO H.Optimal guidance laws with terminal impact angle constraint[J].Journal of Guidance，Control and Dynamics，2005，28（4）：724－732.

[8]SRIVASTAVA R，PRABHAKAR N.Three dimensional nonlinear inverse dynamics guidance law for parallel navigation[C].AIAA Guidance，Navigation，and Control Conference and Exhibit.Rhode，Island：AIAA，2004：4 904－4 911.

[9]李朝旭，郭軍，李雪松.帶有碰撞角約束的三維純比例導引律研究[J].電光與控制，2009，16（5）：9－12.LI Chao－xu，GUO Jun，LI Xue－song.Study on three－dimensional PPN with impact angle constraints[J].Electronics Optics ＆Control，2009，16（5）：9－12.（in Chinese）