線圈并聯時通過兩個線圈磁通量的關系

李存志

(西安電子科技大學理學院，陜西西安 710071)

眾所周知，當兩個線圈串聯時，通過整個線圈的磁通量等于通過兩個線圈磁通量的和。在確定兩個線圈串聯后的等效自感系數時，可以利用磁通量的方法，也可以用感應電動勢的方法。但在確定兩個線圈并聯后的等效自感系數時，人們通常利用感應電動勢的方法［1－3］，迄今為止還未見到用磁通量的方法。因為這里存在一個長期困擾研究者的基本問題，即當兩個線圈并聯時，通過兩個線圈的磁通量之間滿足什么關系?文中將試圖回答這一問題。

1 命題與證明

命題 在不考慮線圈電阻的條件下，對于線圈并聯，通過兩個線圈的磁通量相等。

證明 假設有線圈1和線圈2，它們的自感系數分別為L1和L2，之間的互感系數為M，不考慮它們的電阻，把兩個線圈并聯，如圖1所示。設干路中通有電流I，兩個支路中電流分別為I1和I2，則有當電流變化時式(1)仍然成立。

圖1 兩個線圈并聯圖

對式(1)兩邊對時間求導，有

當電流變化時，在線圈1中會產生自感電動勢εL1和互感電動勢ε12，在線圈1中總的感應電動勢ε1為

在式(3)中，符號“±”及“?”的取法，對于順并聯取上面的符號，對于反并聯取下面的符號，以下同。

同樣，在線圈2中總的感應電動勢ε2為

設兩個線圈并聯后的等效自感系數為L，則等效線圈的自感電動勢εL為

由于不考慮線圈的電阻，所以在任意時刻t，有

將式(2)～式(6)聯立，可得到兩個線圈并聯后的等效自感系數

令 Φm1=L1I1± MI2，Φm2=L2I2± MI1，Φm=LI。Φm1、Φm2和Φm分別表示t時刻通過線圈1、線圈2和等效線圈的磁通量。則式(3)～式(5)可分別表示為

式(8)～式(10)正是法拉第電磁感應定律。

由式(6)得，在任意時刻t

將上式兩邊同乘以d t，得

即在相同的時間內，通過每個線圈的磁通量的增量相等，且等于等效線圈磁通量的增量。

假設在t=0時刻，I=I1=I2=0，Φm=Φm1=Φm2=0，則在任意時刻 t，有

即在任意時刻t，通過兩個線圈的磁通量相等，且等于通過等效線圈的磁通量，證畢。

2 應用

下面用磁通量的方法確定兩個線圈并聯后的等效自感系數。在任意時刻t

通過線圈1的磁通量為

通過線圈2的磁通量為

通過等效線圈的磁通量為

根據文中的結論，有

將式(14)～式(18)聯立可得到兩個線圈并聯后的等效自感系數

顯然，利用磁通量的方法確定線圈并聯后的等效自感系數比用感應電動勢的方法更為簡單。

3 結束語

利用法拉第電磁感應定律證明了:對于理想線圈(即不考慮電阻)，在線圈并聯時，通過每個線圈的磁通量相等，且等于通過整個回路的磁通量。對于理想線圈的串并聯可總結為:線圈串聯，電流相等，磁通量相加;線圈并聯，磁通量相等，電流相加。利用磁通量的方法確定線圈并聯后的等效自感系數比用感應電動勢的方法更為簡單。

［1］林祥立.兩并聯線圈總等效自感系數的確定［J］.六盤水師專學報:自然科學版，1995(4):64－67.

［2］梁明智.具有互感的線圈的串聯和并聯［J］.赤峰學院學報:自然科學版，2009，25(1):13 －14.

［3］REESE R L.大學物理［M］.北京:機械工業出版社，2002.