考慮淬火殘余應力鋁合金厚板中橢圓裂紋Ⅰ型強度因子計算

丁華鋒，朱才朝，李大峰，杜雪松，劉明勇

(重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044)

高強度鋁合金預拉伸板是現代航空航天、武器裝備工業必不可少的關鍵材料[1]，其中鋁合金厚板作為關鍵性的結構材料，使用范圍廣泛。然而鋁合金厚板淬火后會產生很大的殘余應力[2]，需要進行拉伸等工藝來消除或減小淬火殘余應力。如果鋁合金板材中存在裂紋等缺陷，在預拉伸過程中常常會發生斷帶，造成對拉伸機的損傷或破壞，影響其使用壽命。故需要在厚板預拉伸工藝前對鋁合金板材進行探傷檢測，目前，探傷時都未考慮不同厚度板材的淬火殘余應力的影響，按經驗設定裂紋等缺陷允許值。對于裂紋這樣的缺陷，應力強度因子(K)是裂紋尖端附近的應力狀態一個重要表征參量。要準確地預測鋁合金板材在預拉伸時斷帶的臨界裂紋尺寸，需要對其在復雜應力場中的應力強度因子進行精確的計算。

工程結構中，橢圓裂紋是最為常見的一種裂紋。這類裂紋應力強度因子的計算通常基于簡單的純拉伸或彎曲載荷，NEWMAN和RAJU[3]計算橢圓裂紋在純拉伸和彎曲載荷下的應力強度因子。SHIRATORI和MIYOSHI[4]計算了裂紋表面應力分別為均勻、線性、拋物線和立方分布的應力強度因子。1970—1972年，BUECKNER[5]和 RICE[6]提出的權函數法是解決復雜邊界和載荷條件下的裂紋應力強度因子的有效方法，之后有眾多學者對不同裂紋的權函數進行了深入的研究[7-9]。GLINKA 等[10-12]進一步發展了一種普遍適用的權函數，并應用于計算半橢圓裂紋、角裂紋的應力強度因子。LAMMI和LADOS[13]研究了結構材料在動載荷條件下，殘余應力對疲勞裂紋擴展的影響。2010年，BAO等[14]用權函數法和有限元法分別計算了考慮焊接應力的裂紋應力強度因子，計算結果表明，焊接應力對結構承載能力有較大的影響。

由于淬火殘余應力對鋁合金板中裂紋的應力強度因子有較大影響，尤其是厚板淬火后會產生很大的殘余應力，在計算鋁合金板材預拉伸時的應力強度因子，不能忽略淬火殘余應力的影響。對于淬火殘余應力場中裂紋應力強度因子的計算，國內外還鮮有研究。本文作者采用 Shen-Glinka法確定殘余應力場中裂紋的Ⅰ型應力強度因子權函數(KI)，推導出裂紋的殘余應力強度因子。

1 淬火殘余應力的分布

對鋁合金淬火殘余應力的分布已有很多學者做過大量研究，研究結果表明[15-16]，淬火殘余應力厚度方向的殘余應力遠小于長度方向和寬度方向殘余應力的，故厚度方向的殘余應力可以忽略不計。淬火殘余應力沿板材厚度呈“外壓內拉”型分布[2]，從外至內由壓應力逐漸過渡為拉應力，這一過渡為非單調的連續變化，且沿板材中心面呈對稱分布。預拉伸時，鋁合金板材承受的載荷為拉應力，故可只考慮長度方向的殘余應力，不考慮寬度方向的殘余應力，研究裂紋的Ⅰ型應力強度因子。淬火殘余應力分布具有對稱性，可沿鋁合金板材厚度方向取一半建立表面半橢圓裂紋模型，板材的長、寬、厚分別為H、W、t，如圖1所示，其中橢圓裂紋的長軸為2c，短軸長為2a。只考慮z方向的淬火殘余應力。

為計算z向淬火殘余應力場中的裂紋應力強度因子，需要得到淬火殘余應力的分布函數。根據已有實驗測試和數值模擬結果[1-2]，將數據歸一化，鋁合金板的殘余應力在厚度方向上呈對稱分布，淬火殘余應力沿圖1中y方向分布如圖2所示，可將z向殘余應力分布擬合成以下函數：

圖1 鋁合金板半橢圓裂紋模型Fig.1 Semi-elliptical cracks model of aluminum alloy plate

圖2 殘余應力沿厚度方向的分布Fig.2 Residual stress distribution along thickness direction

式中：σ0為最大應力值。

2 考慮殘余應力的權函數法

雖然已有很多學者對各種應力強度因子進行了廣泛的研究[17-18]，但對于殘余應力場中的應力強度因子的計算，權函數法無疑是一種最有效的方法，應力強度因子K可表示為

式中：a為裂紋深度；(yσ)為無裂紋體中假想裂紋處的應力分布； ),(aym為對應的權函數。

上式表明，在任意裂紋面載荷)(yσ作用下，只要知道了該裂紋的權函數),(aym，則對應的應力強度因子可以通過積分求得。對于半橢圓表面裂紋，裂紋最深處A點和表面B點的應力強度因子最為重要，故只計算此兩點的應力強度因子。對于KI的計算，SHEN和GLINKA[11]提出一種普遍適用的權函數法，裂紋最深處A點的權函數(mA(y,a))可表示為

裂紋表面B點的權函數(mB(y,a))為

式中：MiA和MiB為權函數的系數，僅取決于裂紋的幾何形狀。

A、B兩點的應力強度因子可以分別表示為

要得到A、B兩點的應力強度因子，須先確定權函數的系數MiA和MiB。根據權函數的性質，在y=0處，有

SHIRATORI和 MIYOSHI[4]用有限元法研究半橢圓裂紋表面幾種典型的應力分布，選擇應力均分布和線性分布時的應力強度因子求解MiA和MiB。裂紋表面應力分布如圖3所示，可表示為如下形式：

將裂紋表面應力分布函數代入式(3)和(4)中，對應的應力強度因子分別為

圖3 裂紋表面的應力分布Fig.3 Reference stress fields of surface cracks: (a)Uniform stress field; (b)Linear stress field

結合式(6)和(7)，可以得到A、B兩點權函數系數的表達式：

根據SHIRATORI和MIYOSHI[4]的有限元計算結果，在的變化范圍內，將Yi,j表示為a/t和a/c的函數：

式中：Cm,n為各項系數，具體數值見表1。

解出MiA和MiB后，便確定了應力場中半橢圓裂紋A、B兩點的權函數，結合式(5)便可求得A、B兩點處在淬火殘余應力場中的Ⅰ型應力強度因子。

3 結果與討論

為了驗證權函數的正確性，可以用文獻[4]中有限元結果來檢驗。文獻[4]中提供了幾種典型的裂紋表面應力分布的數據，分別與本文權函數法計算出的結果進行對比。裂紋表面應力分布為

將應力強度因子無量綱化：

表1 Yi,j的各項擬合系數Table 1 Fitting coefficients of Yi,j

A、B兩點無量綱應力強度因子的計算結果對比圖分別見圖4和 5，圖中

從圖4和5中可以看出，在4種裂紋表面應力分布的情況下，權函數法所得結果與Shiratori的有限元結果吻合良好，最大誤差不超過 4%，證明所建立的權函數計算裂紋表面不同應力分布的應力強度因子精度比較高。圖6所示為鋁合金板A、B兩點處Ⅰ型殘余應力強度因子的計算結果，其中

從結果中可以看出，A點無量綱應力強度因子隨著橢圓裂紋短半軸與長半軸的比值a/c增大而減小，而B點處的變化規律卻相反。當裂紋短半軸與長半軸的比值a/c增大時，A點的無量綱應力強度因子先增大后減小，而B點的基本保持增大的趨勢，這是因為隨著裂紋的擴展，A點裂紋表面的殘余應力會進入淬火殘余應力的壓應力區域，而B點始終位于淬火殘余應力的拉應力區域。

圖4 A點應力強度因子計算結果與有限元數據的對比Fig.4 Comparison of weight function based stress intensity factors for point A with finite element data

圖5 B點應力強度因子計算結果與有限元數據的對比Fig.5 Comparison of weight function based stress intensity factors for point B with finite element data

圖6 A點和B點處的應力強度因子Fig.6 Stress intensity factors of points A(a)and B(b)

4 結論

1)利用裂紋表面均分布和線性分布應力對應的應力強度因子確定了鋁合金板橢圓裂紋Ⅰ型應力強度因子的權函數，計算了裂紋表面應力為均勻分布、線性分布、平方分布和立方分布時的應力強度因子。

2)通過實驗數據和Shiratori的有限元模擬結果，將鋁合金板淬火殘余應力分布擬合成函數表達式，結合所確定的權函數，計算鋁合金板的裂紋在淬火殘余應力場中的Ⅰ型應力強度因子，結果表明，由于有淬火殘余應力的影響，裂紋A點的無量綱應力強度因子隨裂紋的擴展而增大的趨勢與裂紋B點的趨勢并不一樣。

3)所建立的權函數方法不僅能有效地計算裂紋在淬火殘余應力場中的應力強度因子，同時也適用于焊接應力、熱應力等復雜應力場中裂紋應力強度因子的計算。

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