回歸分析法在GPS測量坐標變換的應用

鐘連琨

(廣西國土測繪院，廣西南寧530023)

一、引 言

全球定位系統(GPS)自20世紀70年代產生，由于GPS具有全天候、高精度、自動化、高效益等顯著優點，已經廣泛應用于大地測量、工程測量、車輛導航、航海導航等領域。GPS采用1984年世界大地坐標系(world geodetic system 1984，WGS-84)是一個協議地球坐標系，坐標系的坐標原點位于地球的質心，其空間直角坐標系的Z軸指向AIH1984定義的地極方向，X軸指向AIH1984的起始子午面和赤道的交點，采用橢球參數為：a=6378137m，f=1/298．257223563。而我國測繪系統廣泛采用的是北京54坐標系和西安80坐標系。北京54坐標系源自于原蘇聯采用的1942年普爾科夫坐標系，參考橢球是克拉索夫斯基橢球，橢球的參數為：a=6 378 245 m，f=1/298．3。西安80坐標系采用IAG1975橢球，橢球的參數為：a=6 378 140m，f=1/298．257，地球橢球的短軸平行于地球質心，指向JYD1968的方向，起始子午面平行于我國起始天文子午面。從上可見，上述這些坐標系之間不但坐標原點不一致，而且各坐標軸之間相互不平行。所以，在實際應用中，必須進行坐標轉換。目前，不同坐標系間坐標變換的通常方法有相似變換法、三參數法、七參數法等。這些方法都是對空間中的圖形進行平移、旋轉以及縮放等的變換，它們都具有幾何關系明確、解答參數方便、變換公式規則、可以適當外推的優點，但對坐標系的局部變形顧及較差。由于測量不可避免誤差，如折光誤差、尺長誤差、信號傳播誤差等，使得系統中各點的坐標值并不嚴格處于確定的數學模型下，從而使得各坐標系統中產生局部性或整體性偏差，于是就存在變換模型的適度問題。1954年北京坐標系是由原蘇聯大地網延伸過來的經，所提供的點的坐標是局部平差的成果。為了建立我國獨立的大地坐標系，從1972年開始，歷時10年完成了全國天文大地網建設工作，并對全國一、二等三角鎖網、部分三等三角鎖網和導線共48 433點進行整體平差，建立了“1980年國家大地坐標系”。由于布設時代不一，時間久遠，參與整體平差和不參與整體平差的點精度不一，再加上地殼運動，它們之間的局部性誤差和形變是不可避免的。此時坐標系之間的真實變換關系是非常復雜的，并不是確定的幾何關系。如采用相似變換法、三參數法、七參數法不可避免帶有模型誤差。而采用回歸分析法可將系統的偏差擬合到回歸參數中，更加完善地進行不同坐標系間的轉換，獲得較高的坐標變換精度。

二、回歸分析法的原理

回歸分析是統計學中的一個重要分支，在自然科學領域和社會科學領域有著十分廣泛的應用，是處理多個變量之間相關關系的一種數學方法。它是建立在對客觀事物進行大量試驗和觀測的基礎上，用于尋找隱藏在那些看上去是不確定的現象中的統計規律的數理統計方法。按照控制論的觀點，一個系統的內部結構并不清楚，但是只要掌握了它外部聯系的狀態方式，闡明它輸入和輸出的因果關系，就可以認為充分掌握這個系統。在坐標轉換中，將不同坐標系之間的變換過程視為黑箱，輸入的是變換前坐標系的舊坐標，輸出的是新坐標系的新坐標。應用回歸分析方法建立輸入和輸出之間的數學關系，從而確定它們之間的變換關系。坐標變換回歸分析主要有下列幾方面的內容：

1)從一組數據出發，分析變量間存在什么樣的關系，建立這些變量之間的回歸模型;

2)對回歸模型的可信度進行統計檢驗;

3)從影響某一個變量的許多變量中，判斷哪些變量的影響是顯著的，哪些是不顯著的，從而建立更實用的回歸模型。

三、回歸分析坐標變換的模型

多元線性回歸的模型如下。

設因變量為Y(預測對象);自變量為X;(xi，yi)是 X、Y 的觀測值，其中 i=1，2，…，n。

則可以建立多元線性回歸方程

式中，b0、b1、b2、…、bp是未知參數的回歸系數;εi是隨機誤差，其方差為σ2其矩陣形式為

每個空間分量的矩陣形式為

根據最小二乘法原理有

回歸模型的系數為

四、算 例

現有下列一組北京54和WGS-84兩坐標系統公共點的觀測數據表1，由于空間坐標(X，Y，Z)3個分量都是獨立的，現以X分量為例來講述坐標變換回歸模型的建立過程。

表1 m

續表1

1．回歸模型的構造

為了計算上的方便，可以用先求出坐標增量方式來求出轉換坐標。另外，由于本例的公共點不是佷多，為了等價于7參的轉形式，選擇6個參數來構造回歸模型。具體構造方程如下

表2

2．回歸模型的檢驗

(1)模型擬合優度檢驗

根據赤池信息準則(akaike information criterion)有

由于AIC=2．301 2，其數值較小，故模型擬合程度較高。

(2)模型顯著性的檢驗

根據回歸分析的方法，對其檢驗的過程歸納為表3。

在給定的顯著水平 α =0．05，F(6，21)=2．57 ＜F=(SSR/p)/(SSE/(n-p-1))=23 044 963 066．74，故回歸模型是顯著的。

(3)模型系數顯著性的檢驗

對于回歸模型，回歸模型是顯著的，并不能說明每個參數對坐標變換的影響是顯著的。要檢驗某個參數對坐標變換的影響是否顯著，等價于檢驗相應的回歸模型的系數是否顯著的不為0，這就是回歸模型系數顯著性檢驗，通過t檢驗來完成，有

對回歸模型系數βj(j=1，2，…，p)的檢驗。本例的計算結果如表4所示。

表3 回歸模型顯著性檢驗的方差分析

表4 回歸系數顯著檢驗

t0．025(21)=2．080 ＜ ti，故在顯著水平 α =0．05條件下，該回歸模型系數是顯著有效的。

五、結束語

1)當變換的區域較小且公共點數量有限時，回歸的模型實質就是相似變換。

2)在模型的選擇上，高階項目具有極其不穩定性的特點，使用時要特別小心。

3)選擇的參數個數的多少，受公共點的數量限制，選擇的方案應確保有足夠的多余觀測量。由于過多的回歸參數表面上會使R2增大變換精度提高，但實際上可能是虛假的，因此選擇參數在不影響變換精度的前提下，應選擇比較簡單的模型。

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