橫切透視橢圓柱投影在高斯投影教學(xué)中的應(yīng)用

過家春

(安徽農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，安徽合肥230036)

一、引 言

文獻(xiàn)［1］首先指出有些測(cè)量和制圖書籍中把高斯-克呂格投影(以下簡(jiǎn)稱高斯投影)與橫切透視圓柱投影(以下簡(jiǎn)稱橫透投影)混為一談，有些測(cè)繪工作者也有這方面的模糊認(rèn)識(shí)。為此，文獻(xiàn)［1］詳細(xì)論述了高斯投影的推導(dǎo)過程，并推導(dǎo)了橫透投影的公式，且對(duì)兩種投影的異同進(jìn)行了比較。稍有不足的是，該文首先將高斯投影的公式簡(jiǎn)化成球體模型下的近似形式，然后在將地球視為球體的條件下推導(dǎo)出橫透投影的公式，并與高斯投影進(jìn)行對(duì)比分析，因此高斯投影與橫透投影的本質(zhì)區(qū)別沒有能夠完全體現(xiàn)出來。

盡管橫透投影實(shí)用性意義不大［1］，但事實(shí)上地圖投影的概念起源于幾何透視投影［2-3］，各種有關(guān)地圖投影的學(xué)術(shù)著作在論述高斯投影、橫軸墨卡托投影(UTM投影)等投影時(shí)，也經(jīng)常以透視投影為引例，以建立對(duì)地圖投影的感性認(rèn)識(shí)［2，4］。由于高斯投影是按一定的投影條件、采用數(shù)學(xué)分析方法建立起來的條件投影，而非幾何透視投影［5-6］，對(duì)于初學(xué)者十分抽象難懂。所以，在高斯投影的教學(xué)工作中，常用橫透投影來做形象比喻，以幫助初學(xué)者理解高斯投影，改善教學(xué)效果。但高斯投影與橫透投影是完全不同的兩種投影。

本文在文獻(xiàn)［1］的基礎(chǔ)上，基于旋轉(zhuǎn)橢球模型，推導(dǎo)出橫透投影的公式，并與高斯投影進(jìn)行分析比較，以資參考。

二、橫切透視橢圓柱投影的公式推導(dǎo)

如圖1所示，假想一個(gè)橢圓柱橫套在地球橢球外面(旋轉(zhuǎn)橢球，記其長(zhǎng)半軸為a，短半軸為b，第一偏心率，并與某一經(jīng)度為L(zhǎng)0的子午線相切。類似于高斯投影，稱其為橫透投影的中央子午線。現(xiàn)假定橢球球心o有一點(diǎn)光源(即設(shè)橢球球心為視點(diǎn))，點(diǎn)光源發(fā)射直線光束，將中央子午線東西兩側(cè)一定經(jīng)差范圍內(nèi)的地區(qū)透射到橢圓柱面上。然后再沿過極點(diǎn)的母線將橢圓柱面展開成平面，建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系O－XY，即得橫透投影。

圖1 橫切透視橢圓柱投影

設(shè)圖1中P點(diǎn)為距中央子午線一定經(jīng)差范圍內(nèi)地球橢球上任意一點(diǎn)，其大地經(jīng)度為L(zhǎng)，距中央子午線經(jīng)差為l=L－L0;大地緯度為B，對(duì)應(yīng)的地心緯度為Φ，二者之間的關(guān)系為

以地球橢球的球心o為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系o－xyz，則由橢圓柱及直線oP的方程構(gòu)成方程組

由式(1)及式(2)，可得P點(diǎn)在橢圓柱上的投影P'點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)

過P'點(diǎn)作中央子午線NOS的垂線，垂足為P0。類似于高斯投影，稱P0點(diǎn)大地緯度B0為P'點(diǎn)的底點(diǎn)緯度，對(duì)應(yīng)的地心緯度為Φ0。由圖1所示關(guān)系有

顧及式(1)，則得

設(shè)P點(diǎn)的投影P'點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)為( XP'，YP')，根據(jù)以上分析有

式(6)即為旋轉(zhuǎn)橢球模型下的橫透投影公式。

三、橫切透視橢圓柱投影與高斯-克呂格投影的對(duì)比分析

以克拉索夫斯基橢球參數(shù)為例，按式(6)計(jì)算3°分帶的橫透投影坐標(biāo)值，繪制投影后的經(jīng)緯網(wǎng)，并與高斯投影作比較，結(jié)果如表1及圖2所示。

圖2 高斯投影與橫透投影的經(jīng)緯網(wǎng)形狀

比較橫透投影與高斯投影的坐標(biāo)差值及經(jīng)緯網(wǎng)形狀，可見橫透投影的長(zhǎng)度變形特征與高斯投影類似，中央子午線和赤道投影后均為直線，且相互垂直，除中央子午線外，投影長(zhǎng)度比均大于1，投影后的經(jīng)緯網(wǎng)形狀十分接近。但表1顯示，橫透投影的縱坐標(biāo)值比高斯投影略小，橫坐標(biāo)值比高斯投影偏大。可以證明，橫透投影為任意投影，其長(zhǎng)度、角度及面積均有變形。

表1 橫透投影與高斯投影坐標(biāo)差值表

四、結(jié)束語

綜合以上分析可知，橫透投影是一種按幾何透視原理建立起來的簡(jiǎn)單投影，幾部滿足等角投影條件，也不滿足等距條件，在測(cè)繪科學(xué)領(lǐng)域?qū)嵱眯圆淮蟆５诟咚雇队暗慕虒W(xué)過程中，尤其是對(duì)于非測(cè)繪類專業(yè)學(xué)生的教學(xué)，筆者常引導(dǎo)學(xué)生思考橫透投影的建立過程，以建立起對(duì)地圖投影的感性認(rèn)識(shí)。實(shí)踐證明這有利于加深初學(xué)者對(duì)高斯投影的理解，也激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

［1］王政梅.高斯-克呂格投影與橫切圓柱透視投影的比較［J］.測(cè)繪通報(bào)，2002(3)：11-12.

［2］祝國(guó)瑞.地圖學(xué)［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，2004：36-37.

［3］SNYDER JP.Map Projections—A Working Manual［M］.USGPO：［s.n.］，1987：1-4.

［4］吳忠性.地圖投影［M］.北京：測(cè)繪出版社，1978：80-81.

［5］孔祥元，梅是義.控制測(cè)量學(xué)(下冊(cè))［M］.武漢：武漢測(cè)繪科技大學(xué)出版社，1998：38-53.