地球自轉對彈道導彈射程影響的動力學分析及運動學仿真*

夏巍巍，牟建華，瞿繼雙，傅志民

（第二炮兵裝備研究院，北京 100085）

0 引言

地球自轉對日常生活中的低速地表運動并無顯著影響，但對于飛行速度達到每秒數千米、射程在幾百乃至上萬公里的彈道導彈而言，則不能忽略自轉對其彈道及射程的影響。通常所說的“東遠西近”[1]，即指導彈自西向東發射能獲得更大射程，該表述是否正確、是否具有普適性，需要通過數學手段加以分析和驗證。文中將對地球自轉在不同彈道條件下影響彈道導彈射程的規律進行分析。

1 基于發射系的動力學分析

選取發射系作為參考系對地球自轉影響進行分析。其定義如下：坐標原點與發射點固連，x軸在發射點水平面內指向瞄準方向，y軸垂直于發射點水平面指向上方，z軸與x、y軸構成右手坐標系。顯然，發射坐標系為動參考系，其相對慣性坐標系以地球自轉角速度ωe轉動，根據矢量導數法則，發射系下的導彈質心動力學方程為[2]：

式中：v為導彈在發射系下的相對速度矢量，P、R、Fc、mg分別表示發動機推力、氣動力、控制力和引力；－mωe×（ωe×r）表示離心慣性力；－2mωe×v表示哥氏慣性力。

選取正東、正西射向的兩種典型彈道作為分析對象。假設兩條彈道采用相同的動力系統和控制程序，則發動機推力、氣動力、控制力、引力、離心慣性力均因射向相反呈對稱結構，而哥氏慣性力并非如此。如圖1所示，自西向東飛行時，哥氏慣性力垂直于速度指向彈道上方；自東向西飛行時，哥氏慣性力垂直于速度指向彈道下方。在哥氏慣性力影響下，兩個射向的彈道并不完全對稱。

可以看出，自西向東飛行時，哥氏慣性力垂直分量Fk⊥始終豎直向上，具有抬高彈道、延長飛行時間的作用，會引起射程增大；水平分量Fk∥在升弧段向西，降弧段向東，在升、降弧段飛行時間相差不大的情況下，將產生向西的位移增量，即減小射程。反之，自東向西飛行時，哥氏慣性力垂直分量Fk⊥始終豎直向下，具有壓低彈道，縮短飛行時間的作用，會引起射程減小；水平分量Fk∥與自西向東飛行時一致，升弧段向西，降弧段向東，產生向西的位移增量，即增大射程。可見，哥氏慣性力水平分量和垂直分量對射程的影響是相反的，因而自轉對飛行射程的影響不能一概而論，而是與彈道形狀等因素有關。

選取飛行彈道的兩種極限情況——豎直上拋運動和平拋運動為對象，分析自轉對射程的影響。

豎直上拋運動無水平速度分量，哥氏慣性力－2mωe×v在上升過程平行于地平面指向西，下降過程平行于地平面指向東，由于豎直上拋運動上升、下降過程時間近似相等，則哥氏慣性力將引起落點處偏西的附加位移。

對于一定高程處的平拋運動，向東平拋時，拋體受到的哥氏慣性力豎直向上，將抬高運動軌跡，增大拋射距離，向西平拋時，拋體受到的哥氏慣性力豎直向下，將壓低運動軌跡，減小拋射距離。顯然，在相同的水平速度下，向東平拋將獲得比向西更遠的拋擲距離，即哥氏慣性力引起落點偏東。

綜合上述分析，初始速度傾角Θ＝90°時，即做豎直上拋運動的物體，在地球自轉的作用下，將產生偏西的水平位移；初始速度傾角Θ＝0°時，即平拋運動物體，在地球自轉的作用下，將產生偏東的水平位移。對于彈道導彈，對射程起決定作用的自由段可以看作初始速度傾角在0°～90°之間的斜拋運動，地球自轉對其影響將取決于具體彈道形狀，從對豎直上拋和平拋運動的分析來看，其規律可能是：在較小的關機點速度傾角下，自轉引起落點偏東，而隨著傾角的增大，該影響將由偏東逐漸變為偏西。

圖1 哥氏慣性力示意圖

2 基于慣性系的運動學仿真

為了驗證上述結論，本節將選取發射慣性系進行地球自轉影響的分析和仿真。該坐標系的定義如下：點火時刻，坐標原點與發射點重合，x軸在發射點水平面內指向瞄準方向，y軸垂直于發射點水平面指向上方，z軸與x、y軸構成右手坐標系，該坐標系在慣性空間保持不動。

以慣性系作為參考系的優勢在于，地球自轉不會引起導彈受力的變化，而僅會對初始運動參數產生影響。具體而言，自轉對彈道的影響主要體現在兩方面：

1）地球自轉使導彈具有發射點牽連初速ve，從而使彈道形狀發生變化；

2）導彈飛行過程地球持續轉動，將對落點經度產生影響。

本節將結合橢圓軌道理論對該影響進行分析和仿真。

2.1 橢圓軌道理論

導彈關機后，進入無動力自由飛行段，在地球為圓球的假設下，僅受到與地心距平方成反比的引力作用，將沿橢圓軌道飛行。在慣性再入方式下，若不考慮再入段氣動及其它干擾因素的影響，關機點至落點的被動段彈道可采用橢圓軌道求解。根據橢圓軌道理論，橢圓幾何參數及被動段射程和飛行時間均由關機點參數（rk、vk、Θk）確定[3]。

為便于表述，引入能量參數ηk及橢圓通徑P：

圖2 橢圓軌道示意圖

其中，μ為地球引力系數。

由上述關機點參數確定的橢圓偏心率為：

長半軸為：

被動段射程角βic滿足如下二次方程：

式中，R為地球半徑。記：

則：

被動段飛行時間為：

已知關機點參數時，根據式（8）和式（9）可以計算被動段對應的地心角及飛行時間。需要指出的是，這里得到的地心角是相對慣性空間的，若要得到相對旋轉地球的地心角，還需考慮地球自轉的影響。下式給出了旋轉地球表面落點經緯度及被動段射程角的解算方法[4]：

其中：ωe為地球自轉角速度；A0為射擊方位角；λk、φk為關機點經、緯度；Δλi為被動段相對靜止地球的經度增量為落點相對靜止地球的經度、緯度；λc、φc為落點相對旋轉地球的經、緯度；βc為被動段相對旋轉地球的射程角。此處未考慮地球扁率的影響，在地球為圓球時，被動段射程為：

將式（10）第5個方程中的λk、φk替換為發射點經、緯度λ0、φ0即可求出全彈道射程。

2.2 射程影響機理分析

彈道導彈主動段射程較短，通常只占全射程的10%以下，在小射程角范圍內，水平初速對彈道高程的影響較小，由此引起的引力變化可以忽略。假設飛行程序角、發動機推力及關機時間固化，則主動段動力學過程不因地球自轉而發生變化。因此，相對地球靜止的情形，自轉在原運動軌跡上疊加了水平初速的影響，至關機點處的速度、位置為：

關機點運動參數的變化使被動段橢圓彈道形狀發生改變，最終引起射程角及飛行時間的變化，具體可根據式（8）和式（9）計算。

另一方面，旋轉地球上子午線相對慣性空間的轉動也是不可忽略的，將帶來落點處附加經度增量－ωe×T，其中T為導彈全程飛行時間，對該影響的處理在式（10）中已考慮。

彈道形狀變化及子午線轉動的綜合作用決定了地球自轉引起的導彈射程變化，下文將采用數值仿真方法進行分析。

2.3 數值仿真

選取慣性再入的某型號中程彈道導彈作為仿真試驗原型，固化發射點位和主動段動力學過程，按照上文中分析的影響模式，計算東、西射向下的射程和飛行時間。仿真過程做了如下簡化：

1）不考慮再入段氣動力影響，被動段全程按橢圓軌道計算；

2）假設地球為圓球，不考慮引力諧分量的動力學影響和扁率引起的幾何影響。

假設地球無自轉的條件下，關機點慣性系速度傾角Θk＝33°，全程飛行時間為T0，射程為L0。在地球自轉的實際情形下，向東發射和向西發射的射程變化仿真結果如表1所示：

表1 某中程導彈不同射向下的射程變化情況

可以看出：在上述彈道下，向東發射時能夠獲得更大射程，即牽連初速引起的射程增大較之落點經度變化造成的射程損失更為顯著。但該結論是否適用于其它彈道條件，還需加以考核。

為分析不同彈道條件下地球自轉對射程的影響，在上述彈道基礎上，固化關機點速度大小，對速度傾角進行調整，構造出不同形狀的彈道序列，對地球自轉條件下飛行時間和射程相對無自轉情形的變化情況進行仿真計算。圖3列出了自轉對射程和飛行時間的影響隨關機點速度傾角變化的曲線，其中實線表示射向正東、虛線表示射向正西。

可以看出，與自轉同方向發射時的飛行時間長于與自轉反方向發射，但在不同的關機點速度傾角下，地球自轉對射程的影響量值并不相同，且隨著傾角增大，極性也發生了變化。具體而言：小速度傾角條件下，與自轉同方向發射能夠獲得更大射程，即自轉引起落點偏東；隨著速度傾角增大至約50°～60°，與自轉反方向發射能獲得更大射程，即自轉引起落點偏西，該結論與基于發射系的分析結果相一致。

圖3 地球自轉對某中程導彈飛行時間及射程的影響

根據橢圓軌道理論，對應最大射程的最佳關機點速度傾角小于45°，因此，就發揮射程能力而言，與自轉同方向發射更為有利。

3 結論

通過發射系下的動力學分析和慣性系下的運動學仿真，總結了不同彈道形狀下地球自轉對彈道導彈射程影響的變化規律：低彈道條件下，向東發射射程更大，而隨著關機點速度傾角增大到某一臨界值，向西發射將獲得更大射程。但對應導彈最大射程的最佳速度傾角往往小于該臨界值，因此，盡管地球自轉對某條具體彈道的影響并不確定，但自西向東發射對增大導彈的最大射程能力更為有利。

[1]李楨，李海陽，雍恩米.臨近空間動能武器彈道特性分析[J].彈箭與制導學報，2009，29（3）：183－185.

[2]賈沛然，陳克俊，何力.遠程火箭彈道學[M].長沙：國防科技大學出版社，2009.

[3]徐延萬.控制系統[M].北京：中國宇航出版社，1989.

[4]沙鈺，吳翊，王正明.彈道導彈精度分析概論[M].長沙：國防科技大學出版社，1995.