旋轉電機鐵耗模型及在雙凸極電機中的應用

李 江，錢 樂，侯 棟，孟小利

(南京航空航天大學，江蘇南京210016)

0 引 言

隨著電氣設備能源利用率的提高，降低損耗、提升效率逐漸成為一個重要的研究方向。電機的損耗主要分為鐵心損耗、繞組銅耗以及機械損耗［1］。其中鐵心損耗占據比例較大，它的準確計算已成為電機設計及其性能優化時不可或缺的部分。

電機的類型，定轉子結構、轉速、控制策略以及鐵心材料的特性等對電機中的磁場都有直接的影響。由于漏磁及磁飽和的存在，鐵心中磁密波形是非正弦、非線性的。鐵耗的計算是以磁密的波形信息為基礎，因而電機磁場模型、鐵心磁密波形的準確建立和獲取十分必要。

研究鐵耗的成因和組成是鐵耗建模的關鍵。Bertotti 于文獻［2］中根據產生機理建立了包括磁滯、渦流和雜散損耗(Excess Loss)的鐵耗計算模型，但該模型只適用于正弦波形的交變磁場;Zhu J．G．考慮到電機運轉中磁化方式的復雜性，通過二維鐵耗測試設備測量出的鐵耗數據建立了旋轉磁化損耗模型［3］，具有較高的精度，但目前該設備還未普及;B．Stumberger 嘗試用兩個相互正交的交變磁場來等效旋轉磁場［4］，從而近似地等效旋轉磁化下的鐵耗，但是未考慮高頻狀態下硅鋼片中磁密集膚效應的影響，當應用于磁密基波頻率較高的場合時，計算誤差較大;目前絕大部分模型［5－7］中的系數均需要愛普斯坦方圈或者環形樣品測試儀測量的鐵損數據來擬合得到，這需要進行額外的測量實驗。本文在考慮旋轉磁化和集膚效應的基礎上，修改優化了傳統鐵耗模型，并利用雙凸極電機的實測鐵耗進行模型系數的擬合，實驗證實了模型的準確性。

1 電機磁場模型建立

1.1 邊值問題

鑒于電機內各部分磁場的復雜性，為獲得電機運轉中定轉子準確的磁場信息，本文運用有限元法，通過有限元分析軟件ANSYS 對電機進行了模型的建立和磁密的求解。

為降低問題的復雜性，考慮用二維平行平面場有限元法對電機磁場進行分析。計算前進行如下理想假設:求解區域存在電流源，故用矢量磁位進行分析，且忽略端部效應，即A = Az;磁場僅限于電機內部，定子外部邊界和轉子內部邊界為零矢量磁位線;忽略磁滯回環的影響，磁化曲線為單值曲線。

在直角坐標系下，對應的邊值問題:

式中:μ 為媒質磁導率;Jz為加在繞組區域的電流密度;邊界條件指定子外部邊界和轉子內部邊界。

電流密度的取值如下:

式中:N 為繞組匝數;I 為繞組中每匝電流值;S 為繞組區域面積。對于勵磁繞組I 為常數值，而電樞繞組ABC 三相電流I 需要根據相位在每個轉子位置處計算得出。

1.2 耦合邊界法的運用

本文運用時步有限元法處理定轉子相對運動的問題，從而獲取電機旋轉狀態下的磁密波形。為獲取任意位置周期上的磁密波形，在每一步的磁場計算中需要保持網格單元的大小和數目一致，此處采用耦合邊界法實現。

由于定轉子間氣隙較小，磁勢變化較大，氣隙剖分層數越多，計算精度越高，但計算時間也隨之增加;為保證計算的準確性，同時提高計算效率，將氣隙層剖分為四層網格。中間兩層網格在它們公共邊界上各自擁有一組節點。兩組節點總數相等，記為N，且圓周方向上相鄰兩節點等間距。對兩組節點分別編號，每節點位置處存在兩節點，故同一位置處存在雙重編號，如圖1(a)所示，此處剖分網格為四節點單元。將位置重合處的兩個節點進行磁矢位的耦合，即可建立該轉子位置的磁場模型。轉子轉動時，運動模型中轉子側網格及節點將發生偏移，如圖1(b)所示，這里偏移了一個節點間距。新位置處重合節點的編號可以根據轉動步長和節點間距求出;只要根據轉動后重合節點的編號，在靜止模型中將兩組重合節點再次進行磁矢位的耦合，即可建立新位置的磁場模型，實現了靜止模型下轉子的等效轉動。為保證轉動后兩組節點重合，轉動步長應取為節點間距的整數倍。

圖1 轉動前后重合節點的編號

選取合理的轉動步長，使得轉動過程中兩組節點能夠重合，按照重合節點的編號進行磁矢位的耦合，每次耦合進行一次靜磁計算，由此可以獲得電機運轉過程中定轉子周期上的磁密波形，而無需模型的重建。

1.3 磁場參數獲取

各位置處磁場模型建立后，相應的邊值問題可以等價于條件變分問題，通過泛函的極值條件可以得到所有節點矢量磁位的非線性方程組，然后利用牛頓－拉菲遜法(N－R)進行線性化以及共軛梯度法(CG)對線性方程組求解，得到所有節點的矢量磁位。根據單元節點的矢量磁位Az可以求出單元x、y 方向的磁密分量:

由于各單元磁密大小和方向都是隨時間變化的函數，屬于旋轉磁化范疇［7］。此處對磁密進行兩個正交方向的分解，以利于后續的波形處理和損耗的求解。徑向和切向磁密Br、Bθ同理也可求得，本文中鐵耗即是在徑切向磁密的基礎上進行的求解。

磁密中還存在大量的諧波分量，而鐵耗模型是基于正弦波的磁密進行的計算，所以要進行諧波分析，即相應的傅里葉分解，然后將各次諧波的幅值及頻率依次代入鐵耗模型進行計算。

2 電機鐵耗模型

2.1 鐵心磁滯損耗

磁滯損耗是鐵心在交變磁化下，內部磁疇不斷改變排列方向和發生疇壁位移而造成的能量損耗。正弦波形磁場B = Bmsin(2πft + θ)中鐵磁材料單位體積下的磁滯損耗可表示［2］:

式中:Pah為交變磁場中的磁滯損耗;Kh為材料的交變磁滯損耗系數;f 為磁場頻率;Bm為正弦磁密波形的幅值;α 為斯坦門茲系數。

對于系數α 而言，一般的選取規則是:當磁密幅值小于1 T 時可取1．6;當磁密幅值大于1 T 時宜取2．0［8］。為了對該系數更準確地取值以及后面計算的需要，考慮用二項式對Bα進行擬合［9］:

式中:系數a、b 為材料性能的比例常數。

一般而言，當磁密在1．0～1．5 T 范圍內時，旋轉磁滯損耗較之交變磁滯損耗約大45%～65%［1］。考慮用兩個正交的交變磁化方式下的鐵耗之和等效旋轉磁化方式下的鐵耗［4］。若將磁密分解為徑向和切向分量，旋轉磁滯損耗表示:

式中:Pahr、Pahθ分別是徑向和切向上的交變磁滯損耗;Br、Bθ分別為徑向和切向磁密幅值。

在實際情況中，因為漏磁和磁路飽和的問題，電機中的磁密波形包含大量諧波，需要進行傅里葉分解，并依次求解各次諧波下的磁滯損耗，最后進行相應疊加，所以單位體積下旋轉磁滯損耗:

式中:k 為諧波次數;f1為磁密基波頻率;Bkr、Bkθ為各次諧波下的徑向和切向磁密幅值。

2.2 片狀鐵心渦流損耗

根據電磁感應原理，變化的磁通在導體中產生旋渦狀的感應電流，該電流以焦耳熱的形式耗散，即所謂渦流損耗。

根據經典電磁場理論，若忽略鐵磁材料磁化曲線的磁滯回環及其非線性，正弦磁場中單片硅鋼片的交變渦流損耗［10］推導如:

式中:Ke為交變渦流損耗系數;Kc(f)為考慮高頻磁密B 下硅鋼片截面磁密出現集膚效應時的修正因子;γ 為硅鋼片電導率;d 為硅鋼片的厚度;V 為硅鋼片的體積，如圖2 所示，V =dhl;μ 為平均磁導率;f 為磁密的頻率。

圖2 硅鋼片渦流損耗推導示意圖

此時將磁導率μ 看作一常數，可取磁化曲線周期上各點磁導率的平均值，即μ =

同理，考慮磁密徑向和切向方向的磁密分解，以及諧波磁密的存在，則單片硅鋼片旋轉渦流損耗模型:

2.3 總鐵耗模型及損耗系數計算

Bertotti 三項鐵耗模型中的雜散損耗由于在總損耗中所占的比例較小［11］，此處忽略，即電機中鐵耗主要由磁滯和渦流損耗構成。在有限元分析中求解的是各單元的磁密信息，所有剖分單元鐵耗求和得單片硅鋼片的鐵耗，再乘以電機軸向硅鋼片片數，即為電機總鐵耗:

式中:n 為定轉子單片硅鋼的總剖分單元數;Vi為剖分單元i 的面積Si、電機軸向長度以及疊壓系數的乘積。

為了獲得電機實際復雜磁化方式下鐵耗模型的系數，嘗試使用電機鐵耗的測量值進行鐵耗模型參數的求取。

總鐵耗可通過實驗測量間接獲得，將有限元分析中獲取的定轉子單元磁密代入式(10)，可獲得關于系數a、b 的線性方程;通過相同轉速、不同勵磁電流下多組鐵耗數據的線性擬合，即可求取a、b。

3 雙凸極電機磁場模型及損耗

3.1 雙凸極電機結構

雙凸極電機是在改善傳統開關磁阻電機性能的基礎上發展起來的。它的結構與開關磁阻電機類似，轉子上無繞組，但定子中除了電樞繞組外還存在一組永磁體或勵磁繞組，相應的稱之為永磁雙凸極和電勵磁雙凸極電機。

本文在一臺30 /20 三相電勵磁雙凸極發電機的基礎上進行了鐵耗的研究，電機結構及繞組分布如圖3 所示。雙凸極電機空載運行時，勵磁繞組加載直流勵磁，電樞繞組斷接，轉子由外部電機的驅動，電機內產生變化的磁場。本文主要在此狀態下進行了磁場的建模和鐵耗的研究。鐵心硅鋼片牌號為DW310－35，軸向長度170 mm，疊壓系數95%，定子外徑400 mm，定轉子氣隙0．4 mm。

圖3 電機結構及繞組分布

3.2 磁場模型的建立及分析

圖4 為該雙凸極電機定轉子的部分網格剖分，其中總單元數為23 640，總節點數75 040。

圖4 鐵心網格剖分

空載運行時，電樞繞組中沒有電流，模型中的電流源只有勵磁繞組，且為常數值，通過式(2)算出電流密度加載于勵磁繞組區域。利用耦合邊界法及靜磁分析計算出定轉子每單元的磁密信息。圖5 顯示了在1 / 4 模型中磁場的變化，圖5(a)中定轉子磁場在公共邊界兩側連續，圖5(b)中因為耦合節點的偏移，而出現視覺上兩側磁密的不連續。

圖5 靜止模型下的變化磁場

3.3 模型計算與實驗驗證

為獲得電機轉速n 下的總鐵耗，本文采用間接測量法，即通過總損耗和其他損耗的差值來求解。電機空載運行時，電樞繞組中沒有電流，只有勵磁繞組銅耗。考慮到勵磁繞組的獨立性，其輸入功耗全部消耗在銅耗上，下面不予考慮。外部電機的轉軸輸入功率主要消耗在鐵耗及機械損耗上:

式中:Pin為勵磁狀態下外部電機的轉軸輸入功率，通過轉矩轉速儀測得;PFe為總鐵耗;Pfw為轉速n 下的機械損耗，無勵磁時轉矩轉速儀測得的外部機轉軸輸入功率。

據此空載轉速1 100 r/min 時，不同勵磁電流下的各損耗如表1 所示。為了使得所測數據更具普遍性，加載了多組勵磁電流，使得齒中磁密幅值涵蓋了基本磁化曲線的線性段、拐點和飽和部分。其中當勵磁電流If為13 A 時，齒中磁密幅值到達基本磁化曲線的拐點。

表1 轉速1 100 r/min 時各勵磁電流If 下損耗

根據計算所得各單元的磁密幅值及其頻率，代入式(11)，通過回歸分析擬合系數a、b 的線性方程組得出:a = 117．7，b = 466．0。其中計算所得渦流損耗Pte和磁滯損耗Pth在表1 中已列出。

為驗證模型的準確性，利用該鐵耗模型分別在空載1 800 r/min 和2 200 r/min 下進行了電機鐵耗理論值與實測值的對比。圖6 顯示了2 200 r/min時各勵磁電流下的鐵耗組成，其中磁滯損耗占據較大的比例。

圖6 轉速2 200 r/min 時各勵磁電流下鐵耗

圖7 是不同轉速下鐵耗理論值與實測值的對比，圖7 表明鐵耗模型在齒中磁密幅值處于磁化曲

圖7 各轉速下總損耗理論值與實測值對比

4 結 論

本文對電機旋轉狀態下磁密及鐵耗模型進行了分析，改進了傳統鐵耗模型，并以一臺電勵磁雙凸極電機為例進行了模型系數的計算和驗證，得出以下幾點結論:

(1)在電機的磁場模型中，通過耦合邊界法處理電機旋轉狀態下的磁場變化，可以實現用電機靜止模型來處理和求解電機旋轉過程中的邊界及磁場變化問題;

(2)通過獲取定轉子鐵心任意單元的磁密，經過相應的磁密分解以及諧波分析，計算各單元鐵耗最后疊加的方法，可以實現總鐵耗的求取;

(3)通過對傳統鐵耗模型的優化和修改，可以直接利用電機的實測鐵耗進行模型系數的擬合。本文的鐵耗模型系數對應的是DW310－35 硅鋼片，該系數適用于該材料鐵心的其他電機;此外該模型系數對于預測樣機額定負載下的鐵耗具有重要意義，并為電機的發熱分析奠定了基礎。

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