一維新型函數的光子晶體

劉曉靜, 張斯淇, 王 婧, 巴 諾, 王清才, 王 巖, 吳義恒, 郭義慶

(1. 吉林師范大學 物理學院, 吉林 四平136000; 2. 中國科學院 高能物理研究所, 北京 100049)

Yablonovitch[1]和John[2]各自提出了光子晶體(PC)和光子帶隙(PBG)結構的概念, 并指出光子晶體的兩個基本性質: 光子帶隙和光子局域. 光子晶體是一種介電常數周期性排列的人工介質, 對光具有頻率選擇性, 即某些頻率的光不能在光子晶體中存在或傳輸. 光子晶體中介質折射率周期性變化對光子的影響與半導體材料中周期性勢場對電子的影響類似[3-4]. 光子晶體應用廣泛, 如利用光子晶體可制作光反射鏡、 光濾波器、 零閾值的激光器和發光二極管等[5-8]. 計算光子晶體禁帶的方法包括傳輸矩陣法、 平面波展開法、 時域有限差分法、 有限元法和多重散射法等[9-12].

本文提出一種新型函數光子晶體, 其介質層的折射率為隨空間位置變化的周期函數; 并給出光在函數光子晶體中的運動方程, 根據光學傳輸理論計算一維函數光子晶體的傳輸特性, 給出一維函數光子晶體的色散關系、 帶隙結構和透射率. 計算結果表明, 利用函數光子晶體可設計出比傳統光子晶體更寬或更窄的帶隙結構.

1 光在一維函數光子晶體中的運動方程

對于函數光子晶體, 介質層的折射率為隨空間位置變化的周期函數, 一維函數光子晶體對應介質層的折射率為n(z). 當光在一維光子晶體中二維空間傳播時, 其運動軌跡在xz平面上. 入射光波照射在A點, 曲線AB和BC分別表示光的入射路徑和反射路徑, 如圖1所示.

圖1 光在函數光子晶體中任意層的傳播路徑Fig.1 Path of light transmission in arbitrary middle medium

由費馬原理可得

(1)

在二維傳播空間中的線元ds為

(2)

(3)

方程(3)即為光在一維光子晶體中二維空間傳播的運動方程.

2 單介質層中傳輸矩陣的推導

圖2 光在折射率為n(z)的介質層中傳播時的電磁場分布Fig.2 Distribution of electromagnetic field when light transmits in the medium with refractive index n(z)

由電磁場在介質分界面處的邊值關系可知, 在分界面的切向方向上電場強度和磁場強度是連續的, 因此在界面Ⅰ兩側切向方向上的電場強度和磁場強度分別為

(4)

在界面Ⅱ兩側切向方向上的電場強度和磁場強度分別為

(5)

電場強度Et1和Ei2分別為

(6)

(7)

其中xA和xB分別為A和B在x軸方向上的坐標分量.

將方程(3)兩邊積分可得

(8)

(9)

將方程(9)代入方程(7)可得

Et1eiδb,

(10)

其中

同理可得

(11)

(12)

其中

(13)

3 一維函數光子晶體中傳輸矩陣的推導

由半個周期的M矩陣可得介質層B和A構成一個周期的M矩陣為

(14)

對N個周期的光子晶體特征方程為

(15)

其中M=MbMaMbMa…MbMa為一維函數光子晶體的傳輸矩陣.

4 一維函數光子晶體的反射率、 透射率和色散關系

根據第一個界面和第N+1個界面上的電磁分量方程, 由方程(15)可求出一維光子晶體的透射系數、 透射率、 反射系數和反射率, 分別為:

透射系數

(16)

透射率

T=t·t*;

(17)

反射系數

(18)

反射率

R=r·r*.

(19)

根據Bloch定理, 有

(20)

其中:d=b+a;k為Bloch波矢. 從而有

(21)

由方程(21)有非零解條件可得

(22)

方程(22)即為一維周期性結構函數光子晶體的色散關系.

5 數值分析

本文選取函數光子晶體的折射率分布函數為

(23)

圖4 當入射角θ=π/3, A1=30, A2=0.3時的函數 光子晶體色散關系和透射率曲線Fig.4 Dispersion relation and transmissivity of function photonic crystals when θ=π/3, A1=30 and A2=0.3

圖5 當入射角θ=5π/12, A1=0.001, A2=1.3時的函數 光子晶體色散關系和透射率曲線Fig.5 Dispersion relation and transmissivity of function photonic crystals when θ=5π/12, A1=0.001 and A2=1.3

綜上,本文提出一種新型函數光子晶體,其折射率為空間位置函數.由費馬原理給出了光在一維函數光子晶體中的運動方程,并利用光的傳輸矩陣理論計算了一維函數光子晶體的色散關系、帶隙結構和透射率,得到了比常規光子晶體更寬或更窄的禁帶結構.

[1] Yablonovitch Eli. Inhibited Spontaneous Emission in Solid-State Physics and Electronics [J]. Phys Rev Lett,1987,58(20):2059-2062.

[2] John S. Strong Localization of Photons in Certain Disordered Dielectric Superlattices [J]. Phys Rev Lett,1987,58(23):2486-2489.

[3] Tran P. Photonic-Band-Structure Calculation of Material Possessing Kerr Nonlinearity [J]. Phys Rev B,1995,52(15):10673-10676.

[4] Busch K, John S. Liquid-Crystal Photonic-Band-Gap Materials: The Tunable Electromagnetic Vacuum [J]. Phys Rev Lett,1999,83(5):967-970.

[5] Labilloy D, Benisty H, Weibuch C, et al. Demonstration of Cavity Mode between Two-Dimensional Photonic-Crystal Mirrors [J]. Electron Lett,1997,33(23):1978-1980.

[6] FAN Shan-hui, Vklleneuve P R, Joannopoulos J D. High Extraction Efficiency of Spontaneous Emission from Slabs of Photonic Crystals [J]. Phys Rev Lett,1997,78(17):3294-3297.

[7] Trull J, Martorell J, Vilaseca R. Angular Dependence of Phase-Matched Secong-Harmonic Generation in a Photonic Crystal [J]. J Opt Soc Am,1998,15(10):2581-2585.

[8] Yamada S, Koyama T, Katayama Y, et al. Observtion of Light Propagation in Two-Dimensional Photonic Crystal-Based Bent Optical Waveguides [J]. J Appl Phys,2001,89(2):855-858.

[9] CUI Ying-liu, CAI Xiang-bao. The Properties of Defect States of the Multi Periods of Photonic Crystal [J]. Acta Photonica Sinica,2004,33(6):704-707. (崔應留, 蔡祥寶. 缺陷態復周期光子晶體的特性研究 [J]. 光子學報,2004,33(6):704-707.)

[10] Busch K, John S. Photonic Band Gap Formation in Certain Self-organizing Systems [J]. Phys Rev E,1998,58(3):3896-3908.

[11] ZHANG Ze, Satpathy S. Electromagnetic Wave Propagation in Periodic Structures: Bloch Wave Solution of Maxwell’s Equations [J]. Phys Rev Lett,1990,65(21):2650-2653.

[12] LI Yan, ZHENG Rui-sheng, TIAN Jin-shou, et al . Photonic Band of Quasi-fractal Photonic Crystal Structure [J]. Acta Photonica Sinica,2004,33(10):1218-1221. (李巖, 鄭瑞生, 田進壽, 等. 一種類分形結構光子晶體的能帶 [J]. 光子學報,2004,33(10):1218-1221.)