風電系統(tǒng)參數(shù)對Hopf分岔影響的仿真

李 季, 周雪松, 馬幼捷, 王海洋

(1. 天津大學 電氣與自動化工程學院, 天津 300072；2. 天津理工大學 天津市復雜系統(tǒng)控制理論及應用重點實驗室, 天津 300384; 3. 白城師范學院 機械工程學院, 吉林 白城 137000)

隨著風力發(fā)電風電容量的迅速增加, 風電并網(wǎng)對系統(tǒng)的影響日益顯著, 但風電大規(guī)模接入電網(wǎng)會導致電能質量下降、 線路傳輸功率越限、 系統(tǒng)短路容量增加和暫態(tài)穩(wěn)定性變化等問題[1-3]. 文獻[4]指出風速變化會影響并網(wǎng)風電系統(tǒng)的電能質量, 引起系統(tǒng)電壓的波動； 文獻[5]指出風電機組對風電系統(tǒng)電壓的影響程度決定于電網(wǎng)結構強度和風機容量大小.

風電的大規(guī)模接入必然會使系統(tǒng)運行點向穩(wěn)定極限點靠近, 一對共軛特征根出現(xiàn)于虛軸而產(chǎn)生的Hopf分岔是該特征的一種現(xiàn)象. Hopf分岔是常見的分岔現(xiàn)象[6], 是導致電壓失穩(wěn)的3種分岔形式之一[7]. 分岔理論已成功解釋了DAE(differential algebraic equation)方程所表示的非線性動態(tài)電力系統(tǒng)電壓失穩(wěn)機理[8-10]. 文獻[11]研究了含風電場的電力系統(tǒng)靜態(tài)電壓穩(wěn)定問題； 文獻[12]基于延拓法追蹤了基于風電系統(tǒng)靜態(tài)模型的二維參數(shù)分岔邊界. 但已有研究很少涉及風電系統(tǒng)DAE方程的Hopf分岔. 本文應用延拓算法追蹤風電系統(tǒng)的平衡解曲線及兩參數(shù)Hopf分岔邊界, 分析參數(shù)對風電系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的影響, 并研究靜止無功補償器(static var compensation, SVC)對Hopf分岔的控制作用.

1 延拓算法

對于動力學系統(tǒng)[13]

(1)

其中：x表示狀態(tài)變量；λ表示分岔參數(shù).

設式(1)在平衡點(x,λ)出現(xiàn)Hopf分岔, 則該系統(tǒng)的Jacobi矩陣A=?f/?x在平衡點處有一對共軛純虛根, 記為jω[13]. 對Hopf分岔, 有

f(x,λ)=0,Aq=jωq, 〈q,q0〉=1,

(2)

式(2)為復數(shù), 即向量q和q0,x,λ,q,ω為方程的未知數(shù), 方程的個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等.

設式(1)的平衡點方程為f(x,λ)=0, 則該方程在n+1維的空間y=(x,λ)∈Rn×R1中定義了一個一維流形M, 稱為平衡解曲線或平衡解流形, 延拓算法可追蹤該平衡解流形, 即用一系列離散點(y1,y2,…)逼近曲線M, 該離散點滿足平衡點的要求. 追蹤該平衡流形的過程中, 通過檢測局部分岔條件判斷在該流形上是否存在分岔點. 但一般的延拓法僅能追蹤到一維流形, 因此只能計算單參數(shù)分岔值. 為了實現(xiàn)微分代數(shù)方程表示的風電系統(tǒng)二維參數(shù)分岔邊界的追蹤. 可從單參數(shù)分岔點出發(fā), 假設已追蹤得到式(1)的單參數(shù)分岔點, 據(jù)此可探索將延拓算法應用到求解直接算法所能求解的數(shù)學方程中. 即等價于應用延拓算法追蹤局部分岔滿足的流形, 并非上述意義下的平衡解流形, 這時可求得式(1)的二維參數(shù)局部分岔邊界.

2 風電系統(tǒng)模型

風電系統(tǒng)模型如圖1所示. 該模型由2個發(fā)電機和1個風電場組成, 發(fā)電機G1為無窮大電源.

圖1 風電系統(tǒng)模型Fig.1 Model of wind power system

2.1 等值發(fā)電機模型

等值發(fā)電機G2采用下述二階模型:

其中：Em,M,Tm和Dm分別表示發(fā)電機機端電壓、 發(fā)電機的慣量、 輸入轉矩及阻尼系數(shù)；ω和δm分別表示發(fā)電機角頻率和發(fā)電機功角；ym和am表示網(wǎng)絡參數(shù).

2.2 風電場模型

異步發(fā)電機技術較成熟、 性價比高、 運行可靠, 是目前多數(shù)風電場的主流機型[14], 異步發(fā)電機運行時發(fā)出有功功率, 同時吸收無功功率, 使整個風電場對無功功率需求較大, 降低了風電接入地區(qū)電網(wǎng)的電壓穩(wěn)定性.

異步發(fā)電機采用忽略定子磁通暫態(tài)過程, 考慮轉子繞組暫態(tài)過程的暫態(tài)模型.

1) 定子電壓方程為

u=(r1+jx′)Is+E′.

(3)

2) 電磁暫態(tài)方程為

(4)

3) 轉子運動方程為

(5)

3 風電系統(tǒng)參數(shù)對Hopf分岔的影響

3.1 有功功率和無功功率對Hopf分岔的影響

Hopf分岔是最具代表性的動態(tài)分岔, 也是其他動態(tài)分岔的基礎. Hopf分岔和電力系統(tǒng)的參數(shù)密切相關, 不同參數(shù)對Hopf分岔的影響也不同. 下面針對幾個風電系統(tǒng)的典型參數(shù)對Hopf分岔影響進行分析.

由于風速的隨機性和不確定性, 感應發(fā)電機消耗或吸收的無功功率也會不斷變化, 導致電網(wǎng)電壓的波動, 引起風電發(fā)電機組機端電壓下降, 因而極大降低了系統(tǒng)電壓的穩(wěn)定水平. 以風電場吸收的無功功率Q1作為分岔參數(shù)時, 風電場機端電壓u的Hopf分岔曲線如圖2所示, 本文僅分析穩(wěn)定平衡態(tài)的上半分支. 當無功功率Q1逐漸增加時, 風電場電壓u快速降落, 在系統(tǒng)運行到極限點(limit point, LP)前的某時刻,Q1約達到1.499 884, 風電系統(tǒng)發(fā)生了Hopf分岔, 此時電壓u=0.908 584, 如圖2中的H1, Hopf分岔理論指出, 當系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔時, 系統(tǒng)出現(xiàn)振蕩, 進而維持周期性振蕩或振幅不斷增大而導致最終失穩(wěn), 因此風電場消耗的無功功率將影響風電系統(tǒng)動態(tài)電壓的穩(wěn)定性.

風速的不斷變化導致感應風電機組在運行中有功功率和無功功率同時變化, 二者相互影響, 因此針對風電場的兩參數(shù)Hopf分岔分析更有意義. 如圖3所示,P1和Q1為分岔參數(shù)風電系統(tǒng)電壓u的二維Hopf分岔邊界, 隨著風電機組發(fā)出有功功率P1的增加, 其所吸收的無功功率Q1也會相應增加, 此時系統(tǒng)電壓u下降. 由圖2可見, 風電系統(tǒng)無功功率的增加易導致Hopf分岔發(fā)生, 所以圖3給出了避免Hopf分岔發(fā)生, 提高電壓穩(wěn)定性的規(guī)律, 即隨著風電場發(fā)出有功功率的增大, 必須減小風電場吸收的無功功率. 相應地, 如果風電場的無功功率增加, 則必須減少風電場的有功功率, 這樣雖有效避免了系統(tǒng)運行在Hopf的二維分岔邊界點上, 但Hopf分岔的消失以犧牲風電場的有功功率為代價. 所以控制風電場所吸收的無功功率是提高系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的一種有效方式.

圖2 Q1變化時風電系統(tǒng)的Hopf分岔曲線Fig.2 Hopf bifurcation curve of wind power system with Q1 variation

圖3 P1-Q1的二維Hopf分岔邊界Fig.3 Two-dimensional Hopf bifurcation boundary of P1-Q1

3.2 傳輸線路導納對Hopf分岔的影響

圖4為y0變化時的風電系統(tǒng)Hopf分岔曲線. 由圖4可見, 線路的導納參數(shù)對系統(tǒng)電壓水平影響較小. 圖5給出了系統(tǒng)導納參數(shù)y0和ym共同作用下二維Hopf分岔邊界. 由圖4和圖5可見, 隨著線路導納的增加, 系統(tǒng)分岔邊界電壓水平變化不大. 當y0=5.626 611時, 系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔, 如圖4的H1, 當增大傳輸線路導納y0時, 即縮短了線路的電氣距離, 降低了線路所需的無功功率, 相應地, 系統(tǒng)供給風電場的無功功率也會增加, 因而使系統(tǒng)的Hopf分岔延后, 提高了系統(tǒng)電壓的穩(wěn)定性.

圖4 y0變化時風電系統(tǒng)的Hopf分岔曲線Fig.4 Hopf bifurcation curve of wind power system with y0 variation

圖5 y0-ym的二維Hopf分岔邊界Fig.5 Two-dimensional Hopf bifurcation boundary of y0-ym

4 靜止無功補償器對Hopf分岔的影響

Hopf分岔可導致風電系統(tǒng)電壓不穩(wěn)定, 所以控制系統(tǒng)中的Hopf分岔能避免電壓崩潰. 由上面分析可知, 系統(tǒng)Hopf分岔和無功功率關系密切, 而異步風電機組通常只能吸收無功, 無功控制主要依靠電容器就地補償, 無法實現(xiàn)快速的無功調節(jié). 靜止無功補償器(SVC)作為靈活的動態(tài)無功補償裝置, 在實際應用中可有效控制分岔[12].

本文采用在風電系統(tǒng)的風電場端安裝靜止無功補償器有效控制無功功率, 如圖6所示.

圖6 加裝SVC的風電系統(tǒng)模型Fig.6 Wind power system with SVC

數(shù)學模型為

(6)

其中：u表示補償點電壓；uref表示參考電壓；Tr表示時間常數(shù)；Kr表示控制器增益；bSVC表示輸出電壓； 無功功率Q=bSVCu2.

圖7 加裝SVC的風電系統(tǒng)Hopf分岔曲線Fig.7 Hopf bifurcation curve of wind power system with SVC

以Q1對風電系統(tǒng)的Hopf分岔影響為例, 分析靜止無功補償器對系統(tǒng)Hopf分岔及電壓穩(wěn)定性的影響. 當Kr=1.5,Tr=0.02時, 求得平衡點處風電場端電壓數(shù)值隨分岔參數(shù)Q1的變化情況如圖7所示. 與圖2比較可見, 含SVC的風電系統(tǒng),Q1增加時, 提高了風電場的電壓水平, 且系統(tǒng)的Hopf分岔點H1無限接近系統(tǒng)的LP點, 對應的無功功率也提高到Q1=11.531 989. 表明靜止無功補償器補償了風電場吸收的無功功率, 同時延遲了Hopf分岔, 擴大了風電系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定域.

綜上所述, 本文應用延拓算法求取了風電系統(tǒng)的平衡解流形, 并針對幾種分岔參數(shù)和靜止無功補償器對風電系統(tǒng)的Hopf分岔影響進行了研究, 進而分析了其對風電系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的影響： 1) 隨著風電場發(fā)出有功功率的增加, 需減小風電場吸收的無功功率, 既避免了系統(tǒng)運行在Hopf分岔邊界上, 又提高了系統(tǒng)電壓水平; 2) 風電系統(tǒng)線路導納的增加, 使風電系統(tǒng)的Hopf分岔延后, 增加了系統(tǒng)穩(wěn)定域, 提高了風電系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性; 3) 靜止無功補償器為風電場有效提供了無功功率, 可延遲系統(tǒng)的Hopf分岔點, 增加負荷極限, 提高風電系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性.

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