Cause型捕食模型的穩(wěn)定性與分支分析

郭 爽, 劉 洋, 沙元霞, 于 健

(大慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 黑龍江 大慶 163712)

0 引 言

對(duì)多種群生物模型性質(zhì)的研究目前已有許多結(jié)果[1-10]. 種群間的關(guān)系隨種群數(shù)量的增加而變得更加復(fù)雜, 例如3個(gè)種群的關(guān)系可能是1個(gè)食餌2個(gè)捕食者、 2個(gè)食餌1個(gè)捕食者、 彼此競(jìng)爭(zhēng)或食物鏈關(guān)系. 基于此, Freedman等[1]提出了如下一類Gause型食物鏈模型：

(1)

其中:x(t),y(t)和z(t)分別為t時(shí)刻食餌、 捕食者和頂層捕食者的數(shù)量;g(x)為食餌的內(nèi)部增長(zhǎng)函數(shù);p(x)和q(y)分別為捕食者和頂層捕食者的功能反應(yīng)增長(zhǎng)函數(shù);h,s>0分別是捕食者和頂層捕食者的死亡率;e,m>0分別是食餌和捕食者的轉(zhuǎn)換率. Ginoux等[2]強(qiáng)調(diào)了模型(1)由幾個(gè)Hopf分支和一個(gè)雙周期分支串聯(lián)而產(chǎn)生一個(gè)蝸牛型的混沌吸引子； Hastings等[3]討論了當(dāng)一個(gè)合理的參數(shù)被選定后, 隨著參數(shù)的變化, 系統(tǒng)(1)會(huì)經(jīng)歷穩(wěn)定的平衡點(diǎn)、 極限環(huán)和“茶杯”型吸引子. 但文獻(xiàn)[2-3]都沒有討論相應(yīng)的時(shí)滯模型. 由于食餌總是有一個(gè)生長(zhǎng)期或懷孕期, 所以將時(shí)滯引入模型更具有實(shí)際意義.

1 共存平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性與Hopf分支分析

(2)

這里α,β,k,p,h,e,r,s,m都是正參數(shù).

為方便, 把式(2)非量綱化, 可得：

(3)

這里:

其中:

特征值λ滿足如下特征方程：

D(λ,τ)=λ3+a2λ2+a1λ+a0+b0λe-λτ=0,

(4)

其中:a2=-m11;a1=-m32m23>0;a0=m32m23m11;b0=-m12n21>0.

如果m11<0, 則當(dāng)τ=0時(shí), 根據(jù)Routh-Hurwitz準(zhǔn)則, 式(4)的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部, 于是有:

當(dāng)τ≠0時(shí), 把λ=iω代入式(4), 有：

1) 當(dāng)ω=0時(shí),D(0,τ)=a0=m23m32m11≠0;

2) 當(dāng)ω≠0時(shí),D(iω,τ)=(iω)3+a2(iω)2+a1iω+a0+b0iωe-iωτ=0.

分離實(shí)虛部, 有

-a2ω2+a0+b0ωsinωτ=0,

(5)

-ω3+a1ω+b0ωcosωτ=0

(6)

成立. 將式(5)和式(6)平方相加, 有

(7)

l3+Al2+Bl+C=0.

(8)

根據(jù)文獻(xiàn)[8], 有：

引理2令

1) 如果C<0, 則式(8)至少有一個(gè)正根;

2) 如果C≥0,A2-3B<0, 則式(8)沒有正根;

3) 如果C≥0, 則式(8)有正根 ?l1>0和h′(l1)≤0成立.

(9)

1、家庭方面的措施。家長(zhǎng)作為孩子的導(dǎo)向標(biāo)，需要充分認(rèn)識(shí)自身在小學(xué)生成長(zhǎng)過程中發(fā)揮的重要作用，并對(duì)學(xué)生加強(qiáng)關(guān)心、溝通和交流等，才能降低孩子對(duì)父母的懼怕感。同時(shí)，在設(shè)定期望值時(shí)，應(yīng)全面結(jié)合小學(xué)生的實(shí)際情況，合理的分析孩子的成績(jī)，才能為小學(xué)生營(yíng)造一個(gè)溫馨、健康、積極的家庭環(huán)境。同時(shí)，家長(zhǎng)要與教師、學(xué)校保持良好互動(dòng)，經(jīng)常詢問小學(xué)生的學(xué)習(xí)情況、在校情況等，才能更好的掌握孩子的學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)，對(duì)于增強(qiáng)小學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力有著極大作用。另外，家長(zhǎng)要及時(shí)的鼓勵(lì)孩子，通過不同的方法與孩子進(jìn)行交流，并在條件允許的情況陪伴孩子學(xué)習(xí)、識(shí)字和玩游戲等，可以更好的促進(jìn)小學(xué)生提高學(xué)習(xí)成績(jī)，對(duì)于提高孩子的語(yǔ)文綜合能力有著重要影響。

定義

(10)

即±iω0是當(dāng)τ=τ0時(shí)式(4)的純虛特征根. 于是, 有：

2)C≥0,A2-3B<0或C≥0,B>0.

記λ(τ)=α(τ)+β(τ)是方程(4)滿足α(τ0)=0,ω(τ0)=ω0的根, 則有：

1)C<0;

證明： 由引理2知, 式(4)必存在純虛特征根, 由文獻(xiàn)[11]知定理的前半部分成立. 因此只需證明當(dāng)τ=τ0時(shí), Hopf分支存在的橫截條件成立. 將式(4)關(guān)于時(shí)滯τ求導(dǎo), 有

記

Δ=[(a1-3ω2)cosωτ-2a2ωsinωτ+b0]2+[(a1-3ω2)sinωτ+2a2ωcosωτ-b0ωτ]2,

由式(5)和式(6), 有

2 數(shù)值模擬

選擇下列一組參數(shù)進(jìn)行數(shù)值模擬：

a=0.136,b=0.37,c=0.63,r=0.32,s=0.123,d=0.896,l=0.15.

所給參數(shù)滿足定理2的條件. 圖1～圖3分別給出了共存平衡點(diǎn)的波動(dòng)變化曲線、 平衡點(diǎn)附近的周期波動(dòng)曲線和大范圍周期波動(dòng)曲線.

圖1 當(dāng)τ=4.365 8<τ0=10.621 8時(shí)平衡點(diǎn)的波動(dòng)曲線Fig.1 Fluctuation diagram of (0.943 3,0.500 0,0.287 1) when τ=4.365 8<τ0=10.621 8

圖2 當(dāng)τ=22.621 8>τ0=10.621 8時(shí)平衡點(diǎn)附近的周期波動(dòng)曲線Fig.2 Fluctuation cycle diagram near the equilibrium when τ=22.621 8>τ0=10.621 8

圖3 當(dāng)τ=192.621 8, 442.607 8時(shí)平衡點(diǎn)附近的周期波動(dòng)曲線Fig.3 Fluctuation cycle diagram near the equilibrium when τ=192.621 8, 442.607 8

由圖1可見, 本文找到了一個(gè)Hopf分支值τ0=10.621 8, 使得當(dāng)τ<τ0時(shí), 圖1的共存平衡點(diǎn)經(jīng)過短暫的波動(dòng), 最終趨于一個(gè)穩(wěn)定的水平. 由圖2可見, 當(dāng)τ>τ0時(shí), 系統(tǒng)出現(xiàn)一個(gè)穩(wěn)定的周期解. 由圖3可見, 系統(tǒng)(2)的Hopf分支是全局存在的. 由于大多數(shù)種群的數(shù)量總在波動(dòng)中, 故通過研究種群數(shù)量的變化規(guī)律, 可以為害蟲的預(yù)測(cè)及防治提供科學(xué)依據(jù).

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