非Lipschitz條件下隨機中性技術進步與投資系統解的存在唯一性

嚴 燕, 韓 笑

(1. 河南財經政法大學 數學與信息科學系, 鄭州 450046； 2. 吉林大學 數學學院, 長春 130012)

0 引 言

目前, 關于中性技術進步與投資控制模型的研究已受到人們廣泛關注, 并取得了一些研究成果. 文獻[1]建立了宏觀經濟中的投資-生產-再投資過程的發展模型, 得到了資本按使用期發布的變化方程, 并研究了該方程的存在唯一性, 得到了系統穩定的充分條件; 文獻[2]討論了不同中性技術進步下的多要素生產函數, 獲得了該類生產函數的一般數學表達式, 并對技術進步做了全新分類; 文獻[3]討論了C-D生產函數和CES生產函數模型, 并針對邊界條件用CES生產函數表示的投資控制模型進行了分析, 證明了該投資控制模型解的存在性和唯一性; 文獻[4]討論了中性技術進步條件下的生產函數模型, 即Hicks中性的具有資金服役時間的投資模型, 并證明了該投資模型解的存在唯一性; 文獻[5]給出了含有時滯的中性技術進步的資產投資模型, 證明了該投資系統模型的等價方程, 同時得到了等價積分方程的表達式. 但上述討論只是針對確定系統進行的研究, 而在現實的經濟體系中, 中性技術進步與投資系統必然會受隨機因素的影響. 因此, 文獻[6-7]研究了帶有隨機因素的中性技術進步與投資系統解的存在唯一性, 并給出了解的指數穩定性. 本文在更一般的條件下證明隨機中性技術進步與投資系統解的存在唯一性. 文獻[6]中的條件是本文的一種特殊情況.

考慮如下隨機中性技術進步與投資系統模型：

(1)

(2)

本文將給出方程(1)解的存在唯一性的基本假設條件, 并證明了解的存在性和唯一性. 本文的一些記號參見文獻[6].

假設：

?x,y∈C, a.e.t,

?x,y∈C, a.e.t;

(H5) 存在常數α>0,λ,γ∈R,p>1, 使得下式成立:

?K∈V, a.e.t.

注1當c(t)為常數且κ(u)=u時, 條件(H2)和(H3)即為文獻[6]的假設條件.

2)Kt∈Ip(0,T;V)∩L2(Ω;C(0,T;H)),p>1,T>0;

3) 對?t∈[0,T],Kt以概率1滿足方程(2).

特別地, 當T=∞時,Kt稱為方程(2)的全局強解.

1 解的唯一性和存在性

定理1在假設(H1)～(H4)成立的條件下, 方程(2)的解在Ip(0,T;V)∩L2(Ω;C(0,T;H))上是唯一的.

為證明方程(2)解的存在性, 構造迭代序列:

對整數n≥1,

(3)

對于?t∈(0,t1], 定義序列{χn(t)}n≥1如下：

利用數學歸納法可以證明: 對?t∈(0,t1]及?m,n>1, 成立

0≤φm,n(t)≤χn(t)≤χn-1(t)≤…≤χ1(t).

(4)

證明: 用文獻[8]中引理4相同的證明方法. ?n≥2, 可得

由假設(H5)可得

定理2在假設(H1)～(H5)成立的條件下, 方程(2)在Ip(0,T;V)∩L2(Ω;C(0,T;H))上的解存在唯一.

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