Brown運動和Poisson過程共同驅動下的公司價值

張誠斌, 王順體, 李輝來

(吉林大學 數學學院, 長春 130012)

公司經營通常受多種因素影響, 而且具有一定的風險性, 因此要考慮采用何種方式融資及融資多少為最佳, 此即為公司的最優資本結構問題. 自Modigliani和Miller[1]提出了現代資本結構理論(MM定理)以來, 這方面的研究已有許多成果, 如: Martzoukos等[2]研究了在世界政治不穩定時期石油價格的起伏情況； Jiang等[3]調查了4種資產的價格情況； Mauer等[4]研究了代理成本與融資決策的問題； Sudipto[5]給出了稅務對投資的影響； Liu等[6]研究了股東與債權人的代理問題； Andrikopoulos[7]討論了股東與管理者間的代理問題; Leland[8]假設波動率為常數時, 研究了債務價值與公司資本問題; Egami[9]研究了公司融資成本問題. 本文在上述研究的基礎上, 分別討論在Brown運動和Poisson過程共同驅動下, 杠桿公司和非杠桿公司的公司價值問題, 并給出了公司停產時價格的臨界值. 結果表明, 在其他條件都相同的情況下, 如果投資產品價格下降, 則杠桿公司必須要先于非負債公司停止運營, 否則會虧本.

假設公司有一些生產設備, 固定投資成本為I元. 用該設備生產產品, 設生產成本為C元, 產品價格為P元, 收益率為δ, 公司的投資成本一部分來源債務融資, 公司與債權人達成如下協議: 債權人借給公司K元, 公司付給債權人連續紅利R元, 如果公司不違約, 紅利永遠進行下去, 稅率為τ, 如果公司違約, 設破產成本與無負債公司價值的比為b(0≤b≤1), 一旦公司破產, 首先償還債務, 剩余的價值歸股東所有, 公司由債權人接管.

假設產品價格P服從如下模型:

dPt/Pt=μdt+σ(dWt+dN(t)),

(1)

其中:μ為公司的預期增長率;σ為公司的瞬時波動率;W為標準的Brown運動. 設λ為Poisson過程{N(t)}t≥0的強度, 即在dt內出現一次跳的概率為λdt.

下面研究非杠桿公司和杠桿公司的公司價值. 杠桿公司是指公司在融資過程中, 一部分來源于權益資本融資, 另一部分來源于銀行借債; 非杠桿公司是指公司在融資過程中, 其資金全部來源于權益資本融資. 考慮非杠桿公司的公司價值, 先構造一個由該公司和Δ單位資產P形成的投資組合, 選擇合適的Δ, 使得該投資組合無風險, 即經典的對沖方法. 下面構造該投資組合Π=V-ΔP, 其中Δ待定. 在[t,t+dt)時間內,

dΠt=Πt+dt-Πt=Vt+dt-Vt-Δt(Pt+dt-Pt).

(2)

設產品的收益率為δ, 則

Pt+dt-Pt=dPt+δPtdt=(μ+δ)Ptdt+σPt(dWt+dN(t)).

(3)

若取Δ=dV/dP, 則

(4)

此時產品價格的跳風險是不應該得到回報, 即

E(dΠt)=rΠtdt.

(5)

于是,V(P)滿足

令

(6)

其中PA表示公司破產的價格臨界值, 當產品價格小于PA時, 公司將破產, 這時前期設備資產的投入將變成沉沒資本. 公司設備殘值為零, 則公司價值為零. 因此, (V(P),PA)滿足如下自由邊界問題:

當產品價格P充分大時, 公司設備會一直進行生產, 所以公司價值應是稅后價值, 由于價格的跳躍性, 則應對無風險利率進行補償, 即有式(8), 此外PA是公司破產的價格最優臨界值, 故有式(9),(10).

定理1對于非杠桿公司, 當產品價格服從式(1)時, 公司價值V(P)和破產最佳臨界值PA分別為

證明： 由于當P≤PA時,V(P)=0, 故V(P)滿足

令

(13)

則L1U(P)=0的通解為

U(P)=APα+BPβ,

(14)

其中:A,B為待定系數;

注意到式(7)中的非線性項是P的一次多項式, 故可設式(7)的通解形如

V(P)=U(P)+aP+b,

(15)

其中a,b待定. 將式(15)代入式(7), 有

L1U(P)+(r-δ-σλ)aP-(r+σλ)(aP+b)+(P-C)(1-τ)=0,

(16)

整理式(16), 可得

(17)

聯立式(14),(15),(17), 得

(18)

其中A,B,PA為待定的值. 將式(18)代入3個定解條件(8)～(10)中, 經計算可得

于是,

證畢.

下面研究產品價格服從式(1)杠桿公司的公司價值. 設U(P)為公司的權益價值,D(P)為公司的債務價值, 由于杠桿公司的融資一部分來源于權益融資, 另一部分來源于借債, 因此由基本假設知, 公司的利潤為(P-C-R)(1-τ). 設PD為公司債務違約的臨界值, 當產品價格小于PD時, 則U(P)=0,P≤PD, 所以(U(P),PD)滿足如下定解問題:

類似地, 公司的債務價值D(P)滿足如下定解問題:

式(26)表示公司債務違約扣掉破產成本后, 債務人剩余的公司價值; 式(27)表示當產品的價格充分大時, 公司不太可能債務違約, 此時公司的債務價值為所得利息的現值, 由于標的資產服從跳躍過程, 因此要對無風險利率進行補償.

定理2當產品價格服從式(1)時, 杠桿公司的價值H(P)為

證明： 由于H(P)=U(P)+D(P), 其中U(P),D(P)分別滿足定解問題(21)-(24)和(25)-(27), 故由定理1的證明可知,

證畢.

注1由于β<0, 而且根據債務違約臨界值PD和PA可知,PA

[1] Modigliani F, Miller M H. The Cost of Capital, Corporation Finance, and the Theory of Investment [J]. The Amer Econ Rev, 1958, 48(3): 261-297.

[2] Martzoukos S H, Trigeorgis L. Real Investment Options with Multiple Sources of Rare Events [J]. European Journal of Operational Research, 2002, 136(3): 696-706.

[3] JIANG Xian-feng, SHI Yong-dong, Jiang G J. Real Options under Jump Diffusion Process: What Types of Jumps?[EB/OL]. 2009-03-17. http://ssrn.com/abstract=1361576.

[4] Mauer D C, Sudipto S. Real Options, Agency Conflicts, and Optimal Capital Structure [J]. Journal of Banking and Finance, 2005, 29(6): 1405-1428.

[5] Sudipto S. Can Tax Convexity Be Ignored in Corporate Financing Decisions [J]. Journal of Banking and Finance, 2008, 32(7): 1310-1321.

[6] LIU Xing, SONG Xiao-bao. Effects of Controlling Shareholder Agency on Debt Financing Agency Costs: Analysis Based on Real Options [J]. Systems Engineering: Theory and Practice, 2007, 27(9): 61-68.

[7] Andrikopoulos A. Irreversible Investment, Managerial Discretion and Optimal Capital Structure [J]. Journal of Banking and Finance, 2009, 33(4): 709-718.

[8] Leland H E. Agency Costs Risk Management and Capital Structure [J]. The Journal of Finance, 1998, 53(4): 1213-1243.

[9] Egami M. A Framework for the Study of Expansion Options, Loan Commitments and Agency Costs [J]. Journal of Corporate Finance, 2009, 15(3): 345-357.