核實數據下的遞歸核密度估計

宇世航, 趙世舜

(1. 齊齊哈爾大學 理學院, 黑龍江 齊齊哈爾 161006; 2. 吉林大學 數學學院, 長春 130012)

基于替代數據和核實樣本推斷的研究目前已有許多結果[1-10]. Sepanski等[1]研究了基于核實數據的非線性EV模型; Wolvreton等[11]提出了f(x)的遞歸型核密度估計:

由于遞歸型核密度估計在添加樣本點時, 不必重新計算所有項, 只需計算添加項, 因此使計算更方便. 基于此, 本文考慮借助于核實數據, 構造一遞歸型概率密度估計量, 并研究其漸近正態性.

1 主要結果

于是在一些正則條件下,f(x)可被如下遞歸核估計量一致估計:

定義

AppendixA條件:

(A·f):f(x)是k階有界可導的;

(A·K):K(·)在有界支撐集上是k階非負有界的核函數;

定理1在AppendixA條件下, 有

證明:

(3)

這里C為任意常數, 且在不同處可取不同的值. 于是, 由式(3)～(6)有

則

從而

其中

而

及條件(A·bn,ηn), 可得

(8)

同理, 有

(10)

于是由式(2)～(10), 有

(11)

同理, 由(A·f),(A·K),(A·hj), 得

(13)

綜上所述, 有

令

由條件(A·K)和(A·h), 有

由式(15)～(17), 顯然有

I1→N(0,θ1σ2(x)),

(18)

I2→N(0,θ2σ2(x)),

(19)

而

故結合式(15),(18)～(20)可得

2 模擬結果

(n,N)=(20,100),(50,100),(50,300),(100,300),

圖1 n=20, N=100時的模擬結果Fig.1 Simulation result for n=20, N=100

圖2 n=50, N=100時的模擬結果Fig.2 Simulation result for n=50, N=100

圖3 n=50, N=300時的模擬結果Fig.3 Simulation result for n=50, N=300

圖4 n=100, N=300時的模擬結果Fig.4 Simulation result for n=100, N=300

由圖1～圖4可見, 給定樣本總數N的情況下, 模擬效果隨核實數據樣本容量n的增加而漸好； 當固定核實數據樣本容量n時, 頂部隨樣本總量N的增加模擬效果漸好, 尾部變差； 如果同時增大N和n, 模擬結果更趨近于f(x), 并且也更平滑.

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