截斷和乘積的不變原理

周 蕊, 楊金英

(1. 長春理工大學(xué) 理學(xué)院, 長春 130022; 2. 呼倫貝爾學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 內(nèi)蒙古 海拉爾 021008)

1 預(yù)備知識

Kn(a)=#{i,Xi∈(Mn-a,Mn]},

從而所有漸近最大值的和為

截斷和為

(1)

根據(jù)c值的不同, 將F分為3類: 當(dāng)c=0時, 稱F具有重尾分布; 當(dāng)0

定理1[9]設(shè){Xn,n≥1}是獨立同分布的正平方可積隨機變量序列, 記μ=EX1>0,σ2=VarX1<∞, 變異系數(shù)γ=σ/μ, 則

其中N為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機變量. 文獻(xiàn)[10]進一步得到了部分和乘積的不變原理.

定理2[4]設(shè){Xn,n≥1}是獨立同分布的正平方可積隨機變量序列, 且有連續(xù)的中尾分布,μ=EX1>0,σ2=VarX1<∞, 變異系數(shù)γ=σ/μ,a為固定的正常數(shù),Tn(a)定義如式(1), 則

P{Tn(a)=0,n=1,2,…的個數(shù)有限}=1,

因此可假設(shè)Tn(a)處處不為零. 本文在中尾分布的條件下得到了截斷和乘積的不變原理.

2 主要結(jié)果

設(shè)C表示正常數(shù), 不同之處可表示不同的值.

引理1設(shè){Xn,n≥1}是獨立同分布的正平方可積隨機變量序列, 且有連續(xù)的中尾分布,μ=EX1>0,σ2=VarX1<∞. 變異系數(shù)γ=σ/μ,a為固定的正常數(shù),Tn(a)定義如式(1), 則在D[0,1]中, 有

(2)

(3)

證明: 式(2)可見文獻(xiàn)[6]中引理2.1的證明; 式(3)可見文獻(xiàn)[4]中第130頁的證明.

定理3設(shè){Xn,n≥1}是獨立同分布的正平方可積隨機變量序列, 且有連續(xù)的中尾分布,μ=EX1>0,σ2=VarX1<∞. 變異系數(shù)γ=σ/μ,a為固定的正常數(shù),Tn(a)定義如式(1), 則在D[0,1]中, 有

(4)

其中{W(t),t≥0}為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動.

(5)

根據(jù)幾乎處處收斂的定義知: ?δ>0, ?R>0, 使得當(dāng)s>R時, 有

易知存在子列{δm}0及{Rm}∞, 滿足

于是有

顯然Am,n<δm. 對于Bm,n, 利用Taylor展式

有

其中θk∈(0,1),k=1,2,…,[nt]. 顯然Em,n≤δm. 下面估計Dm,n.

對于任意固定的m, 由式(4), 當(dāng)n→∞時, 有

(6)

若Rm≥[nt]-1, 則有

(8)

最后證明

(9)

記

H

易證

注意到

而由引理1可知

從而

進一步, 有

于是對于t∈[,1]一致地有

Yn,(t)=H

最后由式(5)～(9)以及文獻(xiàn)[11]中的定理4.2可知式(1)成立. 證畢.

所以定理2是定理3中t=1的特例, 因此本文推廣了已有的結(jié)果.

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