一類帶梯度項橢圓方程解的存在性

劉廣剛, 韋玉程,2

(1. 吉林大學 數學學院, 長春 130012; 2. 河池學院 數學系, 廣西 河池 546300)

0 引 言

考慮橢圓方程邊值問題:

(1)

解的存在性, 其中Ω?RN(N≥3)是一個光滑有界區域. 由于右端項f含有梯度項, 問題(1)不具有變分結構, 因此不能直接用變分法研究其解的存在性. 這種情形下最常用的工具是拓撲度理論, 為得到問題上下解和解的先驗估計, 通常需要對非線性項做適當假設, 這方面的研究目前已有許多結果[1-6]. 文獻[7]通過先固定梯度項再利用山路引理和迭代技巧, 在f滿足超線性增長條件時證明了問題(1)正解和負解的存在性. 該方法在擬線性微分方程[8-9]、 Hamilton系統[10]和脈沖微分方程[11]中應用廣泛. 文獻[7-11]均要求右端非線性項滿足超線性增長條件. 本文考慮f滿足漸近線性增長條件時, 問題(1)正解和負解的存在性.

設0<λ1<λ2≤λ3≤…≤λk≤…是-Δ對應于Dirichlet條件的特征值列. 假設:

(H4)f(x,t,ξ)關于t,ξ滿足全局Lipschitz條件, 即存在常數L>0, 使得

由條件(H1), 0是問題(1)的一個解, 稱為平凡解. 本文考慮問題(1)非平凡解的存在性, 主要結果如下:

1 引 理

(2)

(x),▽w(x))dx.

證明: 由文獻[12]中命題B35可知, 只需證明{un}有界即可.

記u+(x)=max{u(x),0}. 由條件(H2), 存在常數M1>0, 使得

(3)

-Δv=μv+.

(4)

由最大值原理知v>0或v=0. 如果v>0, 則v是-Δ的一個正的特征函數, 因此μ=λ1, 這與條件(H2)矛盾. 故v=0, 但這又與‖v‖L2=1矛盾. 從而序列{un}有界. 證畢.

由條件(H1)知,λ<λ1, 故取充分小可使1-λ/λ1-/λ1>0. 又因為p+1>2, 所以當ρ充分小時, (1-λ/λ1-/λ1)ρ2/2-Ckρp+1>0. 取這樣的ρ, 令β=(1-λ/λ1-/λ1)ρ2/2-Ckρp+1, 則有Iw+(v)>β, ?v∈?B(0,ρ). 證畢.

引理3假設(H0),(H1),(H2),(H3)成立, 則存在v0?B(0,ρ), 使得Iw+(v0)<0.

令φ1為-Δ的對應于λ1的特征函數, 則φ1(x)>0. 因此,

由(H2)知μ>λ1, 故可取充分小, 使得λ1-μ+<0. 由式(5)知, 存在T, 使得當t≥T時, 有Iw+(Tφ1)<0. 取v0(x)=Tφ1(x), 則由引理2知,v0(x)?B(0,ρ), 且Iw+(v0)<0. 證畢.

▽w)uw-dx=0.

因此,uw(x)≥0. 又由最大值原理知, ?x∈Ω,uw(x)>0, 且?x∈?Ω, ?uw/?ν<0, 其中ν是?Ω上的指向外側的單位法向量. 故uw也是Iw的臨界點, 從而問題(2)至少有一個非平凡的正解uw. 證畢.

引理5存在不依賴于w的常數c1>0, 使得問題(2)的非平凡解uw都滿足‖uw‖≥c1.

證明: 由uw是問題(2)的弱解得

(6)

特別地, 取φ(x)=uw(x)代入式(6)有

(x),▽w(x))uw(x)dx.

由條件(H1)和(H3), 任取>0, 存在常數k>0, 滿足g0(x,t,ξ)≤t+k. 則由Sobolev不等式, 有

從而由式(7)得

因為λ<λ1, 取>0充分小, 使得1-λ/λ1-/λ1>0, 并注意到p+1>2, 所以存在常數c1>0, 使得對任意的問題(2)的非平凡解uw都有‖uw‖≥c1. 證畢.

2 定理1的證明

(8)

由Schauder正則性理論[13]可知, ?x∈Ω,un∈C2,α(Ω,R), 且un>0. 由于un+1和un滿足:

-Δun+1=f(x,un+1,▽un), -Δun=f(x,un,▽un-1),

因此

(9)

(10)

從而

衷心感謝吉林大學數學學院史少云教授的悉心指導.

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