超級擁擠公交網絡均衡配流

黃正鋒 王景輝

（東南大學交通學院1） 南京 210096） （同濟大學交通運輸工程學院2） 上海 201804）

0 引 言

公交乘客均衡配流問題是公交規劃與管理的重要基礎．為了使公交配流結果能夠反映公交載運工具擁擠現狀，眾多學者在文獻［1－5］中提出了各種求解擁擠影響下的公交均衡配流模型，這些模型在公交路段阻抗函數的表示方面存在不同．雖然文獻［6］考慮了公交能力約束，并建立了隨機公交配流模型，模型中公交路段能力約束條件所對應的拉氏乘子代表乘客的擁擠延誤時間，但是模型假定乘客的等車費用和車輛運行費用皆為定值，不能反映擁擠帶來的費用變化情況．綜合考慮以上公交均衡配流模型的優缺點之后，筆者建立的模型假定公交出行費用受擁擠影響，是一個與流量相關的增函數，同時考慮車輛運行路段的流量受車輛運營能力的限制．提出的模型求解算法尤其適用于高峰時期乘客流量大于線路運營能力的超級擁擠公交網絡均衡配流．

1 公交網絡表述

一般的公交網絡是由一系列公交車站和公交線路等組成，一個具有4個公交站點、4條公交線路的公交網絡如圖1所示，其中節點N1，N2，N3，N4代表上下車以及換乘的公交站點，公交線路L1，L2，L3，L4經過不同站點．

圖1 一般公交網絡

為了便于將公交網絡分成路段描述，將上述用公交線路表示的公交網絡進行擴展，擴展后的公交網絡由一系列節點和連接節點的路段組成，節點仍代表車站，路段分成公交運行路段、等車路段、下車路段（包括換乘功能）．由3種路段表示的對圖2進行擴展后的公交網絡見圖2，其中點線代表等車路段，實線代表車輛運行路段，點劃線代表下車路段．

圖2 公交擴展網絡

2 公交路段費用函數

等車路段為a，fa表示通過a的公交線路發車頻率，在非擁擠狀態下，假定車輛到達間隔時間服從均值為1／fa指數分布，乘客到達車站數量服從均一分布，則站點乘客的平均等車時間為1／fa．而隨著需求量的增加，車站的排隊就會增長，導致乘客在車站的平均等車時間連續增加．假定除了車輛發車間隔之外，站點等車人數（va）和車內剩余人數（vd）都會影響乘客的等車費用．于是，等車路段a的費用函數可表示為

式中：α1，β1和ρ為正的參數；ub為緊接路段a的車輛運行路段b的公交線路運營能力．設vb為路段b的客流，根據流量守恒公式vb＝va＋vd，式（1）可變形為

式中：參數β1的取值范圍在0和1之間．

車輛運行路段b的費用包括兩部分，即與流量無關的車輛運行時間費用tb（對于城市道路網絡中運行的公交車輛，假設私家車輛對其速度沒有影響）和由車內擁擠造成的不舒適度費用，則車輛運行路段b的費用函數形式可表示為

式中：α2為正的參數．

3 公交均衡配流模型

假設W 為公交網絡OD對的集合，在一個擁擠程度不是很大的公交網絡中，對于任意一個OD對w∈W，如果公交路段流量滿足方程

一般認為此公交網絡路段流量可行．方程（4）為路徑流量和OD需求之間的守恒關系，其中：Rw為OD對w之間的可行路徑集，hr為路徑r∈Rw上的公交流量；gw為OD對w之間的公交需求量．方程（5）為路徑流量和路段流量之間的關聯等式．式中：R為可行路徑集；A為公交路段集；δar為路段a與路徑r之間的關聯矩陣元素，a在r上時取1，否則取0．方程（6）為公交車輛運行路段能力約束，B為公交車輛運行路段集合．

如果公交網絡客流處于非常擁擠的狀態，則在式（4）守恒的前提下式（6）很難得以滿足．為了使公交配流結果滿足線路運營能力約束，必需從過多的總需求中剔除剩余OD量．將OD對w中由于公交路段流量已飽和而產生的剩余OD量記為dw．dw的取值必需滿足以下2個條件：（1）若OD需求gw未造成公交路段能力約束的破壞，則dw＝0；（2）若OD需求gw在公交網絡上的配流結果破壞了公交路段能力約束，則dw≥0，以使式（6）繼續得以滿足．

為了滿足上述兩個條件，采納文獻［7］所建立超量需求網絡的思想，在OD對間增設一條虛擬路段．路段阻抗取為無限大的一個定值M，不隨客流大小而改變，也不受能力限制．進行路網均衡配流時，當流量未接近運營能力時，OD間真實公交路徑的出行費用不超過M；而隨著流量漸漸接近運營能力，式（4）將抑制流量繼續增大的趨勢（具體求解時，可以通過加入懲罰項保證約束條件的成立）．此時，增設路段呈現兩點性質：（1）當網絡中還有其他路徑可供選擇時，增設路段上的流量為0；（2）當其他路徑都已達到飽和的狀態時，剩余OD量將轉入增設路段．

對比增設路段流量和剩余OD量發現，增設路段上的客流變量滿足dw取值的要求．因此可在所有OD對間增設一條費用都為M的公交路段，對公交網絡進行變化．變化后的公交網絡中，假設路段集為ˉA，路徑集為ˉR．于是流量方程（4）、（5）變為

不管公交網絡擁擠狀況如何，可行的公交路段客流必定滿足關系式（6）～（8）．用Ω表示公交路段流量可行解集合．如果Ω中有滿足Wardrop均衡條件的解，且有運營能力約束的公交路段費用都已附加懲罰項，則其公交用戶均衡配流模型可寫成以下變分不等式形式

式中：c（·）為公交路段的費用向量；v為公交路段的客流向量；v＊為公交路段均衡解向量．由于公交網絡中等車路段費用函數不具有對稱的雅可比矩陣，因此上述形式無法建立相應的等價極值模型．

4 求解算法

即使費用函數不具有單調遞增性，對角化算法的收斂性也很好［8］，論文采用對角化算法求解模型（9）．使用對角化算法求解問題的關鍵在于對子問題的處理，用ˉc（v）表示對角化后的公交路段費用函數矩陣，則模型（9）產生的子問題形式表述如下

式（10）中包含有車輛運行路段上的客流能力約束，可以采用懲罰函數或拉氏乘子方法求解［9］．本文采用文獻［10］設計的內罰函數求解方法，將式（10）轉化為無容量約束的問題，由于該方法的子過程中仍保留F－W算法的形式，因此易于求解實施．

將內罰函數法應用于式（10）時，可將該問題的目標函數擴展為

步驟0 預設γ0和σ（0＜σ＜1）值，將OD對w∈W 的增設路段流量設為gw，形成初始可行內點v0，n＝1．和不變的增設路段費用作為阻抗函數進行客流全有全無分配．此時產生一組路段流量ya，a∈ˉA．

步驟3 尋找使Z（xk＋λ（y－xk），γn）最小化的步長λ＊，步長范圍限定為0≤λ≤ min｛1，

步驟6 如果｜P（vn，γn）／Z（vn，γn）｜≤K2或者n＝MN2就停止；否則，γn＋1＝σγn，n：＝n＋1返回步驟1．

算法中，K1和K2是預先確定的收斂標準，MN1和MN2是最大允許迭代數，P（vn，γn）＝｛lg（ua－vna）－lg（ua）｝是擴展目標函數的若罰項與擴展目標函數值相比足夠小的話，即判定算法收斂．由于問題P中各OD對間都增設了1條無容量限制的路段，因此開始將OD需求量全部分配在這些路段上，便能形成初始內點，不需要使用尋找初始內點的算法，加快了求解效率．

5 算 例

圖3的擴展公交網絡含有一個OD對 （N1，N4），首先在OD間增設1條無能力約束、費用無窮大的公交路段（此處費用取1 000 min）．與費用函數相關的系數取α1＝α2＝1，β1＝0．2，ρ＝2，下車路段費用取為0，其他參數及相應的計算結果見表1．OD需求分別取100和240人的配流結果如表中第4，5列所示．當需求為100人時，網絡擁擠程度不是很大，此時剩余OD量為0，即所有乘客的公交出行需求都得到滿足．當需求為240人時，公交網絡呈現出超級擁擠的狀態，從起點（N1）出發的兩條線路L1，L2都被乘客擠滿，流量趨于能力大小，而運算得到的剩余OD量為41，即有41個乘客因為擁堵未能在規定時段坐上公交車輛．

上述算例中，OD對（N1，N4）間存在5條實際路徑和1條虛擬路徑．公交實際路徑用車輛運行路段表示分別為R1），R2），R3，，），R4（，），R5（L12，L13，L14）．圖3顯示需求為240的情形下均衡配流后公交實際路徑出行費用．對角化算法最后一次迭代對P問題的解中，實際 路 徑 的 懲 罰 費 用 分 別 是966．54，963．29，963．29，999．51，1 002．34 min．將實際路徑的出行費用與懲罰費用相加即為含有懲罰項的路徑總費用，對比后得出OD間最小總費用公交出行路徑包含R1，R2，R3以及虛擬路徑，因此乘客公交出行可選擇的最小路徑為R1，R2和R3．但是觀察圖3發現R1的實際出行費用比R2和R3小，說明求解算法已經考慮了R1的容量限制條件．

表1 參數及不同需求公交均衡配流結果

圖3 需求240情形下公交路徑出行費用

6 結束語

針對擁擠影響和能力限制雙重約束下的公交用戶均衡配流問題設計模型與算法．模型通過在OD間增設阻抗無窮大的路段，尤其能夠解決超級擁擠公交網絡狀態下乘客需求過剩的公交均衡配流問題，以此保證公交線路的能力限制條件真正得以滿足．算例證明了內罰函數法求解對角化后的子問題是可行的，只是求解過程較為復雜，如何提高求解效率仍需進一步研究．

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