干散貨航運市場運費期權定價計算方法研究＊

林國龍 尹利賢

（上海海事大學物流研究中心 上海 200135）

0 引 言

鑒于干散貨航運市場自身的市場特性，其在受到企業自身經營狀況的影響外，注定還受到世界經濟和政治發展、干散貨航運市場的供求關系、投機因素、自然因素等的沖擊，這就引起干散貨國際航運市場運價的劇烈波動，給市場參與者帶來了巨大的經營風險．為此，Tvedt［1］以BIFFEX（波羅的海運費指數期貨）為基礎建立了一個期權定價模型，給出了航運費率市場的一些特征．Kavussanos和 Nomikos［2］提出了關于運價期貨市場最優對沖的理論并給出實證研究結果．1992年，遠期運費協議（forward freight agreement，FFA）進入市場．Kavussanos［3］與其他學者合作既研究了遠期與即期運價之間的波動性關系，也檢驗了FFA隨時間變化的套期保值率在降低運費風險上的有效性．Kavussanos［4］等人就注意到相較于目前干散貨FFA的結算價格是基于交割月的最后七個交易日的平均價格，1999年11月以前的干散貨FFA的結算價格是基于交割月的最后5個交易日的平均價格．這樣的清算方法能很好的模擬船隊的現金流，也就能提高對沖能力．Kemna和Vorst［5］通過改變波動率和敲定價格提出了一個幾何平均期權的定價解析公式，但是得不出算術平均期權模型．Rogers和Shi［6］提出了用有限差分法來解析亞式期權問題，他們根據比例縮放的性質，將平均亞式期權價格計算簡化為解一個二元拋物線偏微分方程．但這種方法僅適用于較低的波動率和較短的到期時間．

運費期權的意義在于，它為航運經營者和投資者提供了一種效率更高的航運金融工具．將期權引入航運市場，只是為航運經營者和投資者提供了一種新的選擇，而航運經營者和投資者可以根據其對風險的承受程度選擇更適合自己的運價交易工具．運費期權既可以在OTC場外交易，也可以選擇交易所進行清算．

1 定價模型框架

1．1 模型的假設條件

假設市場投資者能自由進出市場，且借入利率和貸出利率相等，均為無風險利率r．另外，假設存在風險中性測度Q與測度P等價的鞅測度．基本的FFA是一種現金結算合同，等于St的算術平均值與FFA價格F（t，0，T）之差再乘以一個常數D，D不僅取決于價格是按美元／天還是美元／噸計算，D還取決于FFA協議覆蓋的日歷年的天數以及協議中涉及的船型等．FFA的值可通過T時刻得到的現金流折算得到，并計算鞅測度Q下的條件期望．因為進入FFA市場不需要花費任何成本，因此，可得下式

在Black－Scholes環境下，即期和遠期價格均服從對數正態分布（或幾何布朗運動）．在風險中性世界中，在鞅測度下，原生資產的連續模型是適合幾何布朗運動的，因此，用幾何布朗運動來描述即期運費的動態性．

式中：St為t時刻原生資產（航運運價指數）的現貨價格，不可交易；μ，σ均為常數，其中μ為期望回報率，σ為波動率；Wt為隨機布朗運動．

根據Girsanov定理，進行測度變換得到St在風險中性測度Q下的微分為

式中：λ＝（μ－σr）為一實值函數，其中r為風險溢價，且r＝

式（4）的解即為在鞅測度Q意義下，原生資產價格的運行規律為

亞式期權可以看作是歐式期權在遠期協議下的一種推廣．下面僅以亞式看漲期權為例．亞式看漲期權的價格在到期日T的值依賴于整個路徑的均值

于是，該期權在到期日的收益為max（St－K）＋．由于在鞅測度Q下，原生資產（航運均價指數）折現價格為一鞅，因此，敲定價格為K的算術平均亞式上漲期權的價格由折現條件期望給出：

式中：CF（K，t）為敲定價為K的算術平均亞式看漲期權在時刻t的價格；EQ（·）為在概率測度Q下求期望．

1．2 FFA價格的近似計算

由式（2）知，FFA價格F（t，0，T）為測度Q 下現貨價格S期望的算術平均，即F（t，0，T）由平均價格決定．為計算平均價格，將期權的有效期［0，T］進行n等分，設第i個時刻為Ti，則Si為運費在Ti時刻的值，則其算術平均價格SA＝根據假設，各個時段的運費價格均遵循幾何布朗運動，但算術平均價格SA已不再服從對數正數分布，這樣就很難找到SA的密度函數．所以，考慮用對數正態分布Q（t）近似代替運費現貨價格的算術平均值SA，從而找到亞式看漲期權價格C（t，T）的近似值．

式中：W（t）為維納過程．

由于用Q（t）近似作為SA的近似值，所以參數ˉμ，ˉσ必須使Q（t）與SA的一階矩和二階矩相等．

當對n取極限，離散情況就轉換成連續情況，有

這樣，由Q（t）與SA的一階矩和二階矩相等，列方程可解得

因此，在無風險收益率為ˉμ，運費價格St的波動率為ˉσ的情形下，初始價格為S0，執行價格為K的歐式看漲期權價格則為

由于用幾何布朗運動Q（t）＝S0eX（t），作為SA的 近 似 值，因 此 用 E｛［Q（T）－K］＋｝代 替E｛［SA－K］＋｝就可得到無風險利率r，波動率σ，初始價格S0和執行價格K的情形下的看漲期權價格C（t，T）的近似值，即為

N（x）是標準累積正態分布函數．相應的，看跌期權也可以近似得出．

1．3 運費期權價格

從式（1）和式（2）可以看出FFA的合約價格F（t，0，T）可以被定義為［0，T］時間段內，時刻t到交付時間T之間價格的算術平均，即亞式期權就是歐式期權在遠期協議下的應用．由式（2）知，設定運費期權中存在敲定價格K，且以T為到期日的看漲期權的收益可以等價的表示為

類似的，看跌期權的表達式為

從金融學理論可知，未定權益期權的價值可由定價測度下的預期收益減去無風險利率產生的收益給出．相應的，對于到期日為T的亞式期權，在t＜T時刻看漲期權的價值C（t，T）和看漲期權價值P（t，T）分別可由以下式子得出：

具有固定敲定價格K和交易日期 的亞式看漲期權可以表述為

同理，相應的看跌期權可以表示為

2 實際操作

如前所述，FFA合約和運費期權的結算價格均為結算期合同航線的平均價格，而結算期一般為合約月份的最后7個交易日或者整個合約月份．這2種結算程序不會同時使用于一份協議中（盡管在OTC市場上，參與雙方可以根據自己的意愿自由協定結算合約），選擇合適的固定期對運費期權定價來說是很有用的．

假設租船人現有一份0．5 a后到期的看漲期權合約，即期運費為22 500美元／d，敲定價格K＝25 000美元／d，即期運費的隱含波動率為σ＝30%．設定風險中性運費漂移率為λ＝0．03．在實際的定價實例中，將觀察到的FFA價格作為輸入量，常數D為每個月的日歷天數，為便于計算將0．5 a計為180 d，根據之前的公式用EXCEL求解可得相應的日期權價格為1 200美元．如果一個看漲期權在到期時市場的運費價格高于合約中的敲定價格，就可以執行手中這個看漲期權，這時，總的運費率就是該期權執行的敲定價格與期權價格之和．當市場的運費價格低于期權敲定價格的時候，該期權是沒有價值的，這時總的運費率就是市場上即期運費率與期權價格之和．通過EXCEL進行蒙特卡洛模擬（模擬10 000次）得到半年后的平均運費為26 562美元，因為高于敲定價格，所以行使期權，那么運費率即為4 717 000美元．如果沒有買期權合約，則所付費用為4 781 160美元．這樣就實現了套期保值，維護了自己的利益［7－9］．

3 結束語

考慮到具有固定敲定價格的算術平均亞式期權不能輕易得到顯性解，本文將運費期權轉化為一類特殊的歐式期權來進行計算期權金．但是在對FFA的價格進行推導的過程中，運費現貨價格的算術平均值SA不再服從幾何布朗運動，因此采用數學上對連續問題所慣常采用的方法，即轉換成離散問題，最后求極限．在此筆者用幾何布朗運動近似代替離散時間下的算術平均亞式期權價格，得到其一階矩和二階矩后，通過對一階矩和二階矩求極限，得到了與連續情況下算術平均價格的一階矩和二階矩相等的結果，這樣，連續問題就被轉換成離散問題，給實際操作帶來了便利．但運費期權作為一種新興的期權，其定價問題仍處于初步探索階段，如運費期權的其他特性，周期變化，以及隱含波動率的估算本文都沒有涉及到，這也是日后值得研究的課題．

［1］Tvedt J．Valuation of a european futures option in the BIFFEX market［J］．Journal of Futures Markets，1998，18（2）：167－175．

［2］Kavussanos M G，Nomikos N．Futures hedging when the structure of the underlying asset changes：the case of the BIFFEX contract［J］．Journal of Futures Markets，2000，20（23）：775－801．

［3］Kavussanos M G，Visvikis I，Roy A．Batchelor，over－the－Counter forward contracts and spot price volatility in shipping［J］．Transportation Research Part E，2004，40：273－296．

［4］Kavussanos M G，Visvikis M A．An investigation of the use of risk management and shipping derivatives［C］∥Proceedings for the annual conference of the International Association of Maritime Economists（IAME），Limassol，Cyprus，2005：23－25 June．

［5］Kemna A，Vorst A．A pricing method for options based on average asset values［J］．Journal of Banking and Finance，1990，14：129－133．

［6］Rogers L C G，Shi Z．The value of an Asian option［J］．Journal of Applied Probatility，1995，32：1 077－1 088．

［7］Dinwoodie，Morris．Tanker forward freight agreements：the future for freight future［J］．Maritime Police and Management，2003，30（1）：45－58．

［8］姜禮尚．期權定價的數學模型和方法［M］．北京：高等教育出版社，2003．

［9］許子飛．油輪市場亞式期權定價和操作策略研究［D］．大連：大連海事大學經濟管理學院，2010．