基于粒子群算法的陣列位置誤差校正方法

王石泉，許陽明，張 旻

（1.解放軍電子工程學院，安徽 合肥 230037；2.安徽省電子制約技術重點實驗室，安徽 合肥 230037）

0 引言

以陣列天線為基礎的 MUSIC［1］等無線電測向方法能夠正常高分辨率工作的前提是假設一個理想的陣列模型。該模型需要準確已知天線陣列各陣元的相對位置，而實際中安裝誤差、測量誤差、陣列工作環境及機載或艦載平臺的振動等因素會引起天線陣元位置發生變化，導致理想陣元位置與實際陣元位置之間總存在誤差即陣列位置誤差（陣列中各陣元的位置誤差，也常稱之為陣元位置誤差）。理論分析和仿真實驗都表明這些陣元位置誤差會使測向算法的性能急劇下降，甚至失效［2］。為消除陣元位置誤差的影響，學者對陣元位置誤差的校正進行了大量研究，得到了許多算法。如文獻［3］針對等間距直線陣，在子空間原理的基礎上結合遺傳算法，提出了一種天線陣元位置誤差的有源校正方法，雖然該方法利用了遺傳算法的尋優特性，也得到了一定的校正結果，但由于遺傳算法涉及參數的編碼，基因的交叉、變異等復雜選擇操作，使得該類算法在接近最優解時收斂緩慢，計算變得復雜，難以保證全局最優。

針對文獻［3］中的缺陷，本文提出一種新的陣列位置誤差有源校正算法。

1 陣列數學模型及問題描述

1.1 陣列數學模型

以均勻線陣為例進行說明，如圖1所示。假設陣列由M個全向天線構成，陣元間距為d，以第1個陣元所在位置為坐標原點，陣列所在直線為X軸，則在無陣列位置誤差的情況下，各陣元的位置為（xi，yi），i＝1，2，…，M。考慮N個遠場的，互不相關的窄帶信號入射到空間該均勻線陣上，其中入射信號的波長為λ，入射波來向為θk，k＝1，2，…，N 。由文獻［4］可知陣列接收信號表示為：

式（1）中，X（t）為陣列各陣元接收數據，A（θ）為M×N 維 陣 列 流 型 矢 量 且 A（θ）＝ ［a（θ1），a（θ2），…，a（θM）］，S（t）＝ ［s1（t），s2（t），…，sN（t）］T為N×1維入射信號，N（t）＝ ［n1（t），n2（t），…，nN（t）］T為N×1維噪聲矢量，則陣列輸出的協方差矩陣可以定義為：

R ＝E［X（t）XH（t）］＝A（θ）RSAH（θ）＋σ2I （2）式（2）中，RS為信號協方差矩陣，I為單位矩陣，σ2為相互獨立的零均值平穩高斯白噪聲的平均功率，且其與信號源之間互不相關［4］。考慮到實際接收數據矩陣是有限長的，設實際接收的快拍數為L，則數據協方差矩陣的最大似然估計可以表示為：

對式（3）進行特征分解，得到由N個大特征值對應的特征向量所構成的信號子空間Es和其余M－N個特征向量所構成的噪聲子空間EN，根據子空間基本原理，可得MUSIC譜搜索函如下：

圖1 均勻線陣模型Fig.1 Linear equal spaced array model

1.2 問題描述

與文獻［3］一致，本文僅研究存在陣元位置誤差時的陣列誤差校正，不考慮陣元通道幅相誤差（天線接收機接收通道不一致）和陣元互耦（天線間互耦）等其它誤差因素的影響。在無陣元位置誤差的情況下，式（2）中的陣列流型矢量中的導向矢量a（θi）可以表示如下：

式（5）中，（xi，yi）（i＝1，2，…，M）為各陣元所在位置坐標。當受外界各種因素的影響而使得各陣元偏離原有理想位置（即存在陣元位置誤差）情況下的導向矢量ae（θi）可以表示為：

式（6）中，（xei，yei）（i＝1，2，…，M）為各陣元此時的真實位置坐標。由式（5）、式（6）可看出在陣元位置誤差存在的情況下，導向矢量已發生了變化。如果在MUSIC等子空間類算法中繼續使用a（θi）（無陣元位置誤差時的導向矢量），利用它與噪聲子空間EN之間的正交關系來尋找譜峰的話，顯然會得不到準確的DOA估計值，這將會導致該類算法完全失效。

2 基于粒子群算法的解決方案

2.1 校正算法原理

要實現陣元位置誤差的校正，就必須重新構造無陣元位置誤差情況下的導向矢量a（θi）使其等于實際情形下的導向矢量ae（θi），其本質就是要尋找各陣元的實際位置（xei，yei）（i＝1，2，…，M）。

本文采用圖1的校正方法，在M元均勻線陣中，利用一個方位準確已知（假設為θ）的校正源（如圖1虛線框中所示）。首先對陣列接收信號求協方差，獲取陣元位置誤差存在情況下的協方差矩陣R＝E［X（t）XH（t）］，然后對其進行特征分解得到M 個特征值：λ1＞λ2≥ … ≥λM及相應的特征矢量μ1，μ2，…，μM。設這M個特征矢量所張成的空間為E，由于只有一個校正源，基于子空間基本原理可知最大特征值λ1所對應的特征矢量μ1即為信號子空間Es，剩余M－1個特征矢量組成的矩陣即為噪聲子空間EN，如式（7）所示：

提取噪聲子空間EN，然后以導向矢量a（θ）為變量建立如下函數關系式：

由式（5）可知a（θ）與各陣元的位置坐標（X，Y）＝ （（x1，y1，），（x2，y2），…，（xM，yM））存在一一對應的映射關系，顯然當各陣元的位置坐標為真實位置坐標時即滿足（xi，yi）＝ （xei，yei）（i＝1，2，…，M）時，a（θ）＝ae（θ），由ae（θ）與EN的正交關系可知式（8）將取得最大值。因此尋找各陣元的實際位置就等價于對式（8）進行優化處理，獲取一組（Xe，Ye）值并得到對應于這組值的導向矢量ae（θ）使式（8）取得最大值，這組值就是當前陣元實際位置的估計值。由于粒 子 群 算 法［7－8］（Partical Swarm Optimization，PSO）在求解最優化問題上有著其他優化算法無可替代的優勢，因此可以利用它對式（8）進行優化，尋找陣元實際位置，完成陣元位置誤差的校正。

粒子群優化算法是一種基于群智能方法的演化計算技術，是一種基于迭代的最優化工具，它無需編碼、選擇、變異等復雜操作，初始化為一組隨機解，是一個并行迭代的搜索過程，通過迭代搜尋最優值。其速度和位置迭代更新公式如下［9］：

式（9）中，w是慣性權因子，c1和c2是學習因子，r1和r2為0到1之間均勻分布的隨機數，d是待優化問題解的維數，pk，h是當前時刻粒子本身所找到的最優解，pg，h是當前時刻整個種群找到的最優解。通過各粒子不斷地更新位置和速度，不斷地迭代搜索最終得到問題的最優解。

對各陣元所處的位置坐標隨機賦予初值，建立起數量為L的粒子種群X，即X＝ ［X1，…，XL］，其中Xi代表第i個粒子中各陣元的位置取值，可表示為 Xi＝ ［（xi1，yi1），…，（xiM，yiM）］，首先將 Xi（i＝1，2，…，M）代入式（5）求出相應的導向矢量ai（θ），然后將得到的導向矢量ai（θ）分別代入式（8），求取各個粒子的適應度值，找出適應度值的最大值所對應的粒子Xi作為整個種群中的初始最優解。同時隨機初始化各粒子的搜索速度ΔX，基于粒子群算法原理建立如下粒子速度和位置迭代更新公式：

式（10）中，ΔXk，h（t＋1）表示第t＋1次迭代時第k個粒子中第h個陣元位置值的搜索速度，Xk，h（t）表示第t次迭代時第k個粒子中第h個陣元所處的位置，Xk，h表示當前時刻第k個粒子中第h個陣元自身所找到的最優位置，X＊g，h表示當前時刻整個粒子種群中第h個陣元所找到的最優位置。通過此更新迭代公式，各粒子開始進行迭代搜索，每一次迭代后，首先將每個粒子所在位置取值Xk＝ ［（xk1，yk1），…，（xkM，ykM）］代入式（5）計算得到導向矢量ak（θ），將ak（θ）代入適應度評估函數式（8）以評價各粒子的適應度值，然后選擇適應度值最大的粒子所在位置作為本次迭代所找到的陣元最優位置值。

具體的迭代搜索過程是各個粒子利用上次迭代所找到的最優位置解X＊k，h和整個種群所找到的最優位置解X＊g，h，以式（10）為依據確定當前自己的搜索速度和所在位置，并在迭代過程中根據適應度值的大小不斷調整自身的位置、搜索速度同時不斷更新整個種群中的最優位置解。經過若干次的迭代搜索，當適應度函數達到收斂時，各粒子將最終一起找到解空間中的最優位置解即得到各陣元真實位置的估計值，完成對式（8）的優化，實現對陣元位置誤差的校正。

2.2 算法實現步驟

至此可以給出本文校正算法步驟如下：

步驟1：設計校正源信號，假設某一入射角度已知的窄帶遠場校正源信號入射到圖1所示均勻線陣上，設置相應的信噪比。

步驟2：按照式（2）對陣列接收信號進行處理，獲得協方差矩陣，并對其進行特征分解得到噪聲子空間EN。

步驟3：設計粒子群算法中的各個參數。本算法采用基本粒子群算法，學習因子c1＝c2＝1，慣性權重系數w＝0.729，仿真中粒子初始群體數目設為40，迭代次數設為300，采用式（8）作為適應度函數。

步驟4：利用粒子群算法迭代尋優，直到目標函數收斂或者到達指定的迭代次數，搜索停止，最終輸出粒子的最優位置解得到陣元的實際估計位置。

步驟5：用得到的陣元實際估計位置替代高分辨率算法中陣元的理想位置，獲得估計的空間譜，完成陣列位置誤差的校正。

3 計算機仿真實驗

3.1 實驗1陣列位置誤差影響仿真實驗

假設陣列為8元的均勻線陣，陣元間距為半波長，以第一陣元為坐標原點，陣列所在方向為x軸，不失一般性，假設陣元只在x軸上存在誤差，僅考慮與陣元共面的來波信號。現有三個互不相干的遠場窄帶信號同時到達該陣列，其方位角分別為－45°、－24°和17°，信噪比SNR為5dB，快拍數L取1 024，假設陣列各陣元實際位置與理想位置的偏差在［0 1］之間服從均勻分布。圖2為無陣元位置誤差和有陣元位置誤差時的MUSIC空間譜圖。

圖2 有無位置誤差空間譜對比Fig.2 The comparison between having position errors and not having position errors

由圖2可看出在無陣元位置誤差的情況下，MUSIC空間譜在信號入射方位上譜峰尖銳，幅值取得極大值，表明此時MUSIC方法能夠準確地估計出入射信號的方位角；當存在陣元位置誤差時，MUSIC譜在信號入射方位上已經不能取到極大值，且其幅值與無誤差時相比已經有大幅度衰減，此時MUSIC算法已經不能正確估計出入射信號的方位角了。因此在有陣列位置誤差的情況下，MUSIC等一系列基于子空間的超分辨率算法的性能已惡化，甚至失效，此時要繼續使用它們就必須對陣列位置誤差進行校正。

3.2 實驗2驗證算法有效性仿真實驗

實驗條件同實驗1，信噪比SNR改為10dB。采用本文方法對陣元位置誤差進行校正，表1為陣列各陣元理想位置、實際位置、本文算法得到的估計位置和估計的相對誤差（估計值與真實值之間差的絕對值）；圖3為校正前后的MUSIC空間譜；圖4為目標函數的迭代次數與目標函數適應度值的關系曲線。

表1 本文算法校正結果Tab.1 The calibration result using this method

圖3 校正前后空間譜對比Fig.3 The comparison between after calibration and before calibration

圖4 目標函數與迭代次數曲線Fig.4 Target function and iteration numbers

從表1可以看出，在上述仿真條件下，陣元的最大位置估計誤差僅為0.007 3。因此本文提出的校正方法可以較準確地估計出陣列各陣元的實際位置；從圖3可以看出，校正前MUSIC譜峰不僅偏離信號入射方向而且譜峰值在入射方向上取最大值不明顯，但是經過校正后，MUSIC空間譜可以明顯地在三個信源入射方位上形成尖銳的譜峰，因此本文提出的校正算法已經成功對陣列位置誤差進行了校正；從圖4可以看出本文算法有著較快的收斂速度。通過大量的仿真實驗可以得到迭代次數在100次以內，算法都具有較好的收斂性。

3.3 實驗3針對均勻圓陣的仿真實驗

假設陣列為5元的均勻圓陣，半徑為1.5，以第一陣元為坐標原點，陣列所在平面為x－y平面，不失一般性，假設陣元只在y軸方向存在誤差。實驗條件和參數設置同實驗1，利用本文算法對陣元位置誤差進行校正。圖5為陣元理想位置、實際位置和本文算法估計位置平面圖。

由圖5可以看出與均勻線陣一樣，本文算法對均勻圓陣中存在的位置誤差同樣有著較為理想的校正效果，估計得到的陣元實際位置基本與陣元實際位置重合，因此本文算法不僅適用于均勻線陣同樣也適用于均勻圓陣，還可以推廣應用于其他任意形狀的陣列。

圖5 均勻圓陣陣元位置誤差校正Fig.5 The position errors calibration in the circular equal spaced array

3.4 實驗4性能比較仿真實驗

文獻［3］提出用遺傳算法估計陣元實際位置來校正陣列位置誤差，為證明本文提出算法在運算速度和性能上優于前者，現做如下仿真實驗。實驗環境：Intel（R）Pentium（R）4CPU 3GHz；1.0GB 內存；Mata 7.8.0開發平臺；實驗條件：假設在仿真過程中兩種算法陣列中各陣元的實際位置相同，校正源信噪比也相同（5dB），兩種算法的初始群體都設為40，進化代數和迭代次數設為1 000，每一次進化代數或迭代次數做30次蒙特卡羅實驗然后取平均。陣列采用8元均勻線陣，假設各陣元的實際位置為xi（i＝1，2，…，M），估計出陣元的位置為yi（i＝1，2，…，M），現定義陣列位置估計偏差如下：

圖6給出了利用文獻［3］的方法和本文方法估計出來的陣列位置估計偏差與算法進化（迭代）次數的關系。

圖6 文獻［3］與本文方法對比Fig.6 The comparison between method in literature 3and in this paper

由圖6可知，文獻［3］提出的算法雖然進化代數在100代時開始走向收斂，但其收斂值直到第700代還不穩定，收斂值較大（為0.606 1），而本文提出的算法在迭代次數在55代左右就已經開始收斂，收斂值穩定且很小（僅為0.038 7）。這說明本文算法解決了文獻［3］算法在適應度函數在接近全局最優解時收斂速度緩慢甚至出現的收斂停滯現象。經測試，文獻［3］提出的算法進化一代所需時間為0.020 47s，而本文提出的算法迭代一次所花時間為0.011 40s。因此本文算法在運算速度和校正精度上都優于文獻［3］中的算法。

4 結論

本文提出了一種基于粒子群算法的陣元位置誤差校正方法。該方法利用一個方位已知的校正源，從陣列輸出的協方差矩陣中提取位置信息，建立目標函數，然后利用粒子群算法運算簡單、尋優能力強的優勢，得到陣列陣元的實際位置估計值。與文獻［3］相比本文提出的算法過程更加簡單，精度更高，更加符合于實際工程對效率和準確度的需要。計算機仿真結果表明：本文算法可以推廣應用于任意形式的陣列，經過該算法校正過的MUSIC算法的性能已經接近無陣列位置誤差時的性能，從而顯示了該方法的實用性和有效性。

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