分段連續型微分方程θ-方法的散逸性

王琦

(廣東工業大學應用數學學院, 廣東 廣州 510006)

0 引言

分段連續型微分方程是延遲微分方程的一個重要分支,是對很多系統進行建模的重要工具.自變量的分段連續性不僅刻畫了動力系統的連續性和穩定性,也反映出系統的振動性和周期性,因此,這類方程在差分方程的研究中起著重要作用,進而能更有效地解決一些包含離散和連續變量的混合系統中的問題, 如神經網絡[1], 人口模型[2]等. 近20年來, 分段連續型微分方程引起了人們的普遍關注, 對于這類方程的解析解的研究已經非常深入,主要涉及穩定性[3]、周期性[4]、存在唯一性[5]和積分流形的存在性[6]等幾種重要性質,而對這類方程自身的全面闡釋和系統分析,可以參考文獻[7].

雖然對于分段連續型微分方程解析解的研究已有大量結果, 但是對其數值解的研究卻相對滯后, 不過發展很快. Liu等[8]和Song等[9]分別研究了這類方程中帶有延遲項[t]和[t+1]的Runge-Kutta方法和θ-方法的穩定性,得到了解析解的漸近穩定區域包含在數值解的漸近穩定區域的充分必要條件. 在文獻[10-11]中, 作者針對帶有延遲項[t-1]的分段連續型微分方程,分別研究了θ-方法和Runge-Kutta方法的振動性,獲得了數值方法保持方程本身振動性的充分必要條件. 在這類方程數值解的散逸性研究方面有一些研究[12-13].不同于文獻[12-13],本文中主要研究一般情形下帶有一個延遲項[t]的分段連續型微分方程θ-方法的散逸性, 給出兩種θ-方法散逸的充分條件.

設〈·〉為定義在Hilbert空間X上的內積,‖·‖為從屬范數. 本文中考慮下述分段連續型微分方程

(1)

其中[·]表示最大取整函數, 局部Lipschitz連續函數f:[0,+∞)×X×X→X滿足

Re〈u,f(t,u,v)〉≤ω(t)+p(t)‖u‖2+q(t)‖v‖2,u,v∈X,t≥0

(2)

這里的p(t),q(t)和ω(t)是連續函數. 這類方程的一般形式為

x′(t)=f(t,x(t),x(α(t)))

(3)

其中α(t)是分段連續函數. 根據文獻[7],有下面的定義.

定義1滿足下列條件的連續函數x(t)稱為方程(1)式在區間[0,+∞)上的解,

(i)x′(t)在[t]∈[0,+∞)的這些點處存在單側導數,在t∈[0,+∞)的其他點處存在導數；

(ii)在每個區間[n,n+1)?[0,+∞)上,x(t)滿足方程(1)式.

在后面的部分,我們將討論方程(1)式的θ-方法的數值散逸性,并給出相關結論.

1 解析解的散逸性

散逸性是動力系統所研究的諸多問題中的重要方面. 所謂散逸性,就是系統具有一有界吸引集,從任意初始條件出發的解經過有限時間后進入該吸引集并隨后保持在里面. 當用數值方法求解系統時,人們希望數值解也能具有散逸性,即數值散逸性的保持問題. 本文中將主要探討θ-方法對分段連續型微分方程(1)式散逸性的保持問題.

下面的定義精確地描述了散逸性.

定義2[12]稱方程(1)式在集合H上是散逸的,如果存在一個有界集B?H, 使得對于任意的有界集Φ?H都存在時刻t0=t0(Φ), 只要初值x0∈Φ, 則當t≥t0時相應的解x(t)∈B,B稱為H中的一個吸引集.

為簡便起見,在下文始終令不等式(2)式中的函數p(t),q(t)和ω(t)為常數,即

p(t)≡p,q(t)≡q,ω(t)≡ω,

那么,不等式(2)式化為 Re〈u,f(t,u,v)〉≤ω+p‖u‖2+q‖v‖2,u,v∈X,t≥0

(4)

下面的定理給出了方程(1)式的解析解為散逸的充分條件.

即系統是散逸的. 對任意的ε>0,開球

2 線性θ-方法的數值散逸性分析

取步長h=1/m(m≥1), 節點tn=nh(n=1,2,…), 將線性θ-方法應用于方程(1)式得

(5)

(6)

定義3稱數值方法(6)式是散逸的,如果存在一個常數r, 使得對于任意的初值x0,都存在n0=n0(h,x0), 當n≥n0時有‖yn‖≤r.

下面給出本文中的第一個主要定理.

(7)

將(7)式的兩側同時與自身作內積得

(8)

(9)

移項有

(10)

(11)

再由數學歸納法得

(12)

2hnq‖xkm‖2≤

L0+2hnω+[2hp(n-1)+2hθp+2h(1-θ)p+2hnq]L1=

L0+2hnω+2hn(p+q)L1

(13)

其中

故,當p+q≥0時有

‖xn‖n0,

證畢.

3 單腿θ-方法的數值散逸性分析

步長的取法如第2節所示, 將單腿θ-方法應用于方程(1)式得

(14)

下面給出第二個主要定理.

定理3的證明為了行文簡便,令

(15)

(16)

由(15)式和(16)式得

yn+1-yn=θ(xn+1-xn)+(1-θ)(xn-xn-1)

(17)

又由(14)式得

(18)

即

(19)

由定理2和定理3不難看出,兩種θ-方法具有相同的散逸性, 這與考慮穩定性時得到的結論一致.

4 結論

用兩種θ-方法分別求解一類典型的分段連續型微分方程, 利用不等式放縮等技術方法分析了數值格式的散逸性. 結果表明, 兩種θ-方法具有一致的散逸性特征,從而適合于求解此類散逸系統.向前型方程和滯后型方程的數值散逸性研究將是今后討論的重點.

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