非牛頓流體在多孔介質中滲吸現象的研究

王世芳, 吳濤,肖明

(1.湖北第二師范學院物理與電子信息學院,湖北 武漢 430205；2.武漢工程大學理學院,湖北 武漢 430074)

滲吸是潤濕相流體在多孔介質中主要依靠毛細力作用置換另一種非潤濕相流體的物理過程.滲吸是一種常見物理輸運現象,廣泛存在于土壤學、石油工程、纖維材料等一些相關實際應用領域.毛細上升是一種基本的物理現象,廣泛存在于自然過程及人類活動中.毛細效應在化學工程、冶金技術、地下水工程、石油工程、紡織物干燥等領域中也具有重要作用[1-3],尤其是在多孔介質滲吸中起著不可估量的作用,如利用自發滲吸驅油已成為低滲裂縫油藏采油的一個重要機理[4].因此,依靠毛細力產生的滲吸現象越來越來越受到關注.

目前,大部分研究者主要研究牛頓流體在多孔介質中的流動特性和傳輸現象,但是在自然資源恢復與儲存工程等地表系統中,非牛頓流體卻處處存在.因此,研究非牛頓流體在多孔介質中流動行為對實際工程應用領域是十分非必要的.Bingham流體是一種常見的非牛頓流體,這種流體僅當剪切應力超過某一有限值時才開始流動,這有限應力值τ0稱為該流體的屈服應力.

Roquet和Saramito[5]用有限單元方法模擬了圓柱體中賓漢姆流體的流動.Balhoff和Thompson[6]也用有限單元方法模擬了軸對稱收縮管道中賓漢姆流體的流動.1921年,Washburn[7]給出了水在單根毛細管中滲吸高度及滲吸質量隨時間變化的解析表達式.他的模型認為多孔介質是由直徑相同、并列排列的毛細管組成的.然而,大量的實驗證明,多孔介質的孔隙是呈分形結構且孔隙空間在3-4個數量級的范圍內是自相似的,孔隙大小在1 nm至100 μm內變化.Benavente[8]等人通過引入迂曲度和孔形狀等描述多孔介質的微結構參數對LW方程進行了修正.在他們的模型里,迂曲度等于3,是一經驗常數,不具有明確的物理意義,且他們的模型預測與實驗數據吻合得不好. Cai[9]等人基于多孔介質的分形特征提出了牛頓流體在多孔介質中的自發順向滲吸的分形模型,并得到了牛頓流體在多孔介質中滲吸高度與滲吸質量的解析表達式.本文中主要研究了非牛頓Bingham流體在毛細力作用下在多孔介質中的滲吸現象,得到了非牛頓Bingham流體滲吸高度與滲吸質量的分形解析表達式.

1 理論模型

(1)

(2)

(3)

(4)

大量實驗證明多孔介質的孔隙大小的分布滿足分形分布,孔隙直徑在λ到λ+dλ區間里的孔隙數目：

(5)

(6)

滿足分形分布的多孔介質孔隙面積為：

(7)

(8)

(9)

Bingham流體在多孔介質中滲吸上升的平均流速可以表示為：

(10)

多孔介質內流體流動通道的實際平均長度[ 12-13]：

(11)

(12)

(13)

聯立(10)式和(13)式得到滲吸高度隨時間的變化關系：

(14)

(15)

(15)式表明滲吸所能達到的平衡高度與多孔介質的結構特征(DT,Df,λmax和β)、液體的流變特性(密度ρ、粘度μ、屈服應力τ0)有關.

Bingham濕潤液體吸入到多孔介質的質量隨時間的變化關系可以通過下面積分得到：

(16)

(17)

將(14)式代入到(17)式并應用(16)式可得：

(18)

(19)

(19)式代表了在滲吸初期忽略重力因素情況下,牛頓流體在多孔介質中累積滲吸質量與時間的關系.代入初始條件M(0)=0,并對(19)式積分得到：

(20)

(20)式表明在滲吸初期,多孔介質中滲吸的牛頓流體質量M與時間的平方根t1/2成正比,這與cai[13]等人得出的結論相一致.

2 結果分析

由于大部分多孔介質孔隙分布具有分形特征,因此可以把多孔介質看作是由一束獨立的、不同尺寸、彼此不相交的毛細管組成.考慮毛細管迂曲度,研究非牛頓Bingham流體在多孔介質中滲吸的物理機制,包括其上升高度和上升質量隨時間的變化.

多孔介質的孔隙分形維數可以由(8)式確定.多孔介質的最大孔隙直徑可以采用顆粒呈等邊三角形排列的模型和顆粒呈正方形排列的模型所得的最大孔隙直徑的算術平均值[13],即

(21)

ds為固體顆粒直徑,在文中取ds=0.02 cm,φ為多孔介質的孔隙率.

本文中選取Bingham流體的流變特性參數如下：密度ρ=1.00×103kg/m3,稠度系數μ=0.001 Pa·s.表面張力σ=72.7×10-3N/m,接觸角θ°=π/6,多孔介質的孔隙率φ=0.4,迂曲度分形維數DT=1.1.一旦多孔介質的孔隙率φ給定,分形維數Df就可以由(8)式確定.

圖1為基于(14)式,考慮非牛頓Bingham流體的重力因素后,Bingham流體在多孔介質中滲吸高度隨時間的變化關系.從圖1可以看出,在滲吸的初期,Bingham流體在多孔介質中上升的速度比較大,然后速度逐漸減小直至達到平衡高度.圖1還說明了屈服應力對滲吸的平衡高度有一定的影響,滲吸的平衡高度隨屈服應力的減小而增大.

基于(10)式,圖2顯示了不考慮重力因素下,流體流變特性τ0=0時,流體在多孔介質中滲吸累積質量與滲吸時間平方根呈線性關系.這與Lucas-Washburn方程是一致的,也與Cai[13]等人得到的結論一致.

圖3是基于(18)式,考慮Bingham流體的重力因素后,Bingham流體在多孔介質中累積質量隨時間的變化關系.從圖3可以看出,在滲吸初期,流體在多孔介質中的滲吸速度很快,然后速度逐漸減小,以至于Bingham流體在多孔介質中滲吸總質量基本保持不變而趨近于平衡.另外,圖3還反映了屈服應力τ0越大,多孔介質中滲吸流體質量越少,這是因為屈服應力越大,Bingham流體受到的粘滯阻力越大,因此滲吸到多孔介質中流體質量就越少.

圖1 考慮重力作用時滲吸高度隨時間的變化關系

圖2 不考慮重力因素時滲吸質量與時間的關系

圖3 考慮重力因素時滲吸質量與時間的關系

3 結論

本文中提出一種關于非牛頓Bingham流體在多孔介質中發生滲吸的簡單分形模型,其滲吸高度及滲吸質量不僅與Bingham流體的流變特性(粘度、屈服應力、密度)有關,還與多孔介質的微結構參數(分形維數、最小孔隙直徑、最大孔隙直徑)有關.結果表明在滲吸初期,滲吸速度比較大,然后滲吸速度逐漸減慢直至達到到平衡狀態；屈服應力τ0越大,Bingham流體在多孔介質中滲吸高度與滲吸累積質量越小.此結論可能為低滲透油藏中提高石油采油產量提供一定的理論指導意義.

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