線性Schr?dinger方程的兩個時間分裂差分格式

王雪梅

(棗莊學院數學與統計學院,山東 棗莊 277160)

0 引言

許多物理問題需要求解如下形式的Schr?dinger方程

(0.1)

u(a,t)=u(b,t),t∈R

(0.2)

u|t=0=u0(x),x∈[a,b]

(0.3)

其中v(x)為靜電電壓,是一個實函數,u(x,t)是復函數,i2=-1.

方程(0.1)～(0.3)在物理學(如固體物理學)方面有著廣泛的應用,近年來也有很多關于該方程的研究論文,如Bao等人對此方程的半經典形式構造了兩個譜格式[1],張魯明等人對帶波動算子的Schr?dinger方程、自共軛Schr?dinger方程和帶五次項的Schr?dinger方程構造了差分格式[2-4],都得到了較好的數值結果.據此本文中構造了兩個時間分裂的隱式差分格式.

1 格式的構造

類似文獻[1]中方法,把方程(0.1)式分為如下兩個方程

(1.1～1.2)

此格式為絕對穩定的二階隱格式,精度為O(τ2+h2).

若把tn到tn+1分為3步計算,得到格式2.

該格式也是絕對穩定的隱式格式,精度為O(τ2+h2).

2 格式的精度

下面用方程的平面波解來驗證格式的精度.

當v(x)=d(d為常數)時,方程有如下形式的平面波解

(2.1)

對于格式1

對于格式2,與格式1類似有

通過以上分析,我們得到了格式1、2的精度.

3 兩個格式的穩定性和收斂性

定理的證明令r=τ/h2為網格比,我們用Fourier分析法求格式1、格式2的穩定性條件,在此仍假設v(x)=d,d為常數.

(3.1)

(3.2)

因為|G(τ,θ)|=1,由穩定性條件得格式1是絕對穩定的.

對于格式2,與格式1類似分析可得 |G(τ,θ)|=1,所以格式2也是無條件穩定的.

由于格式1和格式2是相容的,并且絕對穩定,所以它們也是收斂的,并且收斂階為O(τ2+h2).

在已有結論中,文獻[1]中用的是分裂譜方法,格式絕對穩定,但計算時間較長.而文獻[2-4]中用離散泛函分析的方法證明了格式的穩定性和收斂性,證明較繁瑣.而本文中證明過程中利用線性化的分析方法,較簡單的得到了格式1和格式2的收斂性條件.

4 數值實驗

表1 格式1與格式2計算結果

為了與文獻[1]中的格式進行比較,我們記文獻[1]的兩個格式為格式3,格式4.比較在滿足精度為小于0.001的情況下,格式1,2與格式3,4的計算時間比較.在表1中我們已給出了在不同的步長下格式的精度和計算時間,格式3,4的計算結果如下表2.

表2 格式3與格式4計算結果

由上面的比較可以看出,格式1,2與格式3,4的精度相當,但是省了不少的計算時間.所以在計算量比較大的情況下,我們的格式是很有效的.

圖1 格式1計算的解的模‖u(x,t)‖

圖2 格式2計算的解的模‖u(x,t)‖

數值實驗的結果表明本文中的算法是有效而可靠的.

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