具有區間支付的合作對策的區間強ε-核心

鄒正興,高作峰

(燕山大學理學院,河北 秦皇島 066004)

核心是經典合作對策常用的集合形式的解.生活中處處充滿著不確定性,經典合作對策的理論將不再適用,具有不確定性收益的模糊合作對策引起了人們的關注.Hinojosa等[1]討論了包含多種狀態的合作對策的核心、最小核心、核仁,引入了P-核心的概念.Branzei R等[2]建立了具有區間收益的模糊合作對策模型,為區間合作對策的研究奠定了基礎.Alparslan Gok等[3-4]改進了區間合作對策模型,對經典合作對策的分配、核心、優超核心進行了拓展,并研究了區間合作對策的一些性質.于曉輝等[5]重新定義了模糊支付合作對策的模糊核心,給出了該模糊核心的存在條件,探討了模糊核心與模糊Shapley 值的關系.本文中在Alparslan Gok建立的區間合作對策模型的基礎上,結合經典合作對策核心[6-8]的相關理論,定義了區間合作對策的區間強ε-核心、區間P-核心、區間最小核心、區間最小P-核心,并嘗試著研究這些核心的一些特征和性質.

1 基本概念和記號

則稱x關于S優超y,記為xdomSy.對于任意兩個分配,如果存在一個非空聯盟S,使得xdomSy,則稱x優超y.

(1)

(2)

(3)

2 主要結論

2.1 相關性質及證明

類似地,可以證明(2)、(3).證畢.

定理5證明先證ε0=max{p01,p02}.

2.2求區間核心中的分配區間核心為區間合作對策集合形式的解,求解起來比較困難,但我們可以通過數學規劃的方法求出處于區間核心中的某一分配.求區間核心中分配的主問題可以描述為：

minw-+w+

(5)

(6)

使得

(7)

(8)

(9)

xi-≤xi+,i∈N

(10)

xi-,xi+∈R

(11)

w-,w+≥0

(12)

在上述數學規劃問題中,約束條件(6)～(9)表明分配的有效性與合理性,約束條件(10)表明區間數的合理性.求解該問題的算法如下：

步驟1：給出初始聯盟集Ω,例如Ω={{1},{2},…,{n}}.

步驟2：求出最優化問題(5)～(12)的最優解.

步驟3：如果w-+w+>0,則算法停止.此時區間核心為空.

類似地,可以求出區間P-核心、區間最小P-核心中的某一分配.

3 結論

以區間數的運算為主要工具,結合經典合作對策的相關定義及性質,定義了區間合作對策的區間強ε-核心、區間P-核心、區間最小核心、區間最小P-核心,嘗試著研究這些核心的一些特征和性質,并設計了一種可行的方法求出處于區間核心中的某一分配,對區間合作對策的理論研究以及相關的應用有一定的參考價值.區間核心具有較強的應用性,但區間核心通常是集合形式的解,如何限定從區間核心中取出的元素使其更具說服力將是以后的研究重點.

[1] Hinojosa M A, Marmol A M, Thomas L C. Core, least core and nucleolus for multiple scenario cooperative games[J]. European Journal of Operational Research, 2005, 164(1)：225-238.

[2] Branzei R, Dimitrov D, Tijs S. Shapley-like values for interval bankruptcy games[J]. Economics Bulletin, 2003(3):1-8.

[3] Alparslan Gok S Z,Miquel S,Tijs S.Cooperation under interval uncertainty[J]. Mathematical Methods of Operations Research, 2009, 69(1):99-109.

[4] Alparslan Gok S Z, Branzei O, Branzei R,et al. Set-valued solution concepts using interval-type payoffs for interval games[J]. Journal of Mathematical Economics, 2011, 47(4/5):621-626.

[5] 于曉輝, 張強. 模糊支付合作對策的核心及其在收益分配問題中的應用[J].模糊系統與數學,2010,24(6):66-75.

[6] Peters H. Game Theory—a multi-leveled approach[M].Berlin Heidelberg：Springer-Verlag, 2008：229-232.

[7] Branzei R, Dimitrov D, Tijs S.Models in cooperative game theory[M]. Berlin Heidelberg：Springer-Verlag, 2008：13-25.

[8] 高作峰,王友,王國成.對策理論與經濟管理決策[M]. 北京:中國林業出版社, 2006：60-77.

[9] Julia Drechsel. Cooperative lot sizing games in supply chains[M]. Berlin Heidelberg：Springer-Verlag, 2010：81-85.