具有平衡項的平均曲率流

田大平,喻麗菊

(1.江漢大學數學與計算機科學學院,湖北 武漢 430056; 2.嘉興學院數理與信息工程學院,浙江 嘉興 314001)

0 引言

設Mn是n(n≥2)維光滑緊致無邊流形,X0:Mn→Rn+1是Mn到Rn+1的光滑浸入,考慮關于方程

(0.1)

的光滑映射Xt=X(·,t).其中H是Mt=Xt(Mn)的平均曲率,v是單位外法向量,h(t)是[0,∞)的非負光滑函數.方程(0.1)式是嚴格拋物方程,由文獻[1]易知其短時存在性.因此,對于某個ω>0,可以假設,在最大時間區間[0,ω)上方程(0.1)式存在光滑解.

本文中主要考慮h(t),t∈[0,∞)是非負有界光滑函數的情形.為了描述極限超曲面的形狀,采用文獻[2,6]中的法化方法.對于任意時間t,只要方程(0.1)的解X(·,t)存在,設ψ(t)是一個正因子,使得由

(0.2)

于是得到定理0.1.

定理0.1M0是Rn+1(n≥2)的光滑緊致嚴格凸浸入超曲面,則在最大時間區間[0,ω)上,發展方程(0.1)式存在唯一光滑解.設平衡項h(t)是非負函數,那么

(Ⅱ)如果0<Λ<∞,則ω=∞,當t→∞時,方程(0.1)式的解C∞-拓撲收斂于球面.

(Ⅲ)如果Λ=0,則ω=∞,當t→∞時,方程(0.1)式的解一致膨脹到∞.而且,如果法化方程(0.2)式的解收斂于光滑超曲面,則極限超曲面必是面積為|M0|的球面.

下面是本文中的主要定理：

定理0.2M0是Rn+1(n≥2)的光滑緊致浸入超曲面,平衡項h(t)是[0,∞)上的非負有界光滑函數,則曲率流(0.1)式的第一類奇異點是漸近自相似的.

定理0.3M0是Rn+1(n≥2)的光滑緊致嚴格凸浸入超曲面,平衡項h(t)是[0,∞)上的光滑函數,且滿足

0≤h(t)

(0.3)

1 預備知識

設Mn是Rn+1的光滑浸入超曲面.采用文獻[4-5]中的記號.特別地,取定Mn的局部坐標系{x1,…,xn},g=gij和A=hij分別表示Mn中的度量和第二基本形式.則平均曲率和第二基本形式的模長平方分別為：

H=gijhij,|A|2=gijgklhikhjl,

其中gij是矩陣(gij)的第i行第j列元(i,j)的逆.用λi表示超曲面的第i個主曲率.除非特別說明,本文中的求和表示從指標1到n的求和.

引理1.1對于方程(0.1)式的任意解,下面的發展方程成立：

若M0是凸的,只要曲率流方程(0.1)式的解存在,曲率流就保持所有Mt的凸性,則有下面的引理(或參見文獻[2,4,6,10]);

引理1.2(i) 若當t=0時,hij≥0,則對任意t∈[0,ω),都有hij≥0.

由此直接導出關于凸性的結論：

|M|和|V|分別表示Mn的面積和Mn包含區域的體積.由引理1.2知道,如果M0是嚴格凸的,則方程(0.1)式的每個解是緊致凸超曲面.因此,由Aleksandrov-Fenchel不等式和散度定理可以得出|M|與|V|的關系.

設凸超曲面X：Mn→Rn+1的第二基本形式是正定的,其單位外法向量定義Gauss映照v:Mn→Sn,Sn是單位球面.由于超曲面是緊致凸的,即Gauss映照是處處非退化的,則由Gauss映照重新參數化凸超曲面

X=X(v-1(z)),z∈Sn.

定義支持函數

S(z)=〈z,X(v-1(z)〉,z∈Sn.

(1.1)

定義凸超曲面X的寬度函數為：ω(z)=S(z)+S(-z),z∈Sn.

下面引用Andrews[11]的一個定理來控制凸超曲面的寬度.

引理1.5Mn是Rn+1的光滑緊致凸超曲面.對任意x∈Mn,若存在正數C1,使得Mn滿足逐點Pinching估計λmax(x)≤C1λmin(x),則有ωmax≤C1ωmin,

由此引理,即可得到Sn的內半徑和外半徑的Pingching估計：

推論1.6Mn是Rn+1的光滑緊致凸超曲面.對任意x∈Mn,若存在正數C1,使得Mn滿足逐點Pinching估計λmax(x)≤C1λmin(x).則存在正數C2使得rout≤C2rin.

于是,可以將方程(0.1)式的每個解寫成徑向圖X(x,t)=r(z,t)z:Sn→Rn+1

(1.2)

Mt上關于r的外單位法向量和第二基本形式分別為

2 自相似解

(2.1)

達種情況下,稱曲率流(0.1)式是第一類的.否則,稱其為第二類的.下面的引理說明,當t→ω時,任意第一類曲率流一致收斂于爆破點.

引理2.2當t→ω時,方程(0.1)式的解是一致收斂的.

引理2.2的證明根據(2.1)式有

其中C4和C(h)是正數,于是引理得證.

于是,有下面的推論：

定理2.5的證明根據引理1.1的發展方程,有

因此

(2.2)

推論2.6的證明由單調公式,有

因此

根據引理2.3的一致估計,推論得證.

3 收斂于球面

這部分考慮凸曲率流(0.1)式.如果平衡項h(t)足夠小,則曲率流(0.1)式收斂于一點,法化曲率流(0.2)式收斂于球面.

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

由推論1.6和(3.4)式得到下面的估計：

下面的引理說明方程(0.1)的解是收縮的,且曲率流的最大存在時間ω有限.

引理3.2ω<∞,當t→ω時,方程(0.1)式的解X(·,t)一致收斂于Rn+1中一點P.

由極大值原理有

H≥φ,0≤t<ω.

(3.5)

因此

由此得到(3.5)式.

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